*****
Я прибыл в Хогвартс к завтраку в пятницу 19 мая. Меня представили. Я объявил, что намерен провести в субботу после завтрака занятие на какую-нибудь полезную и интересную тему, с которой рассчитываю определиться к ужину. Обсуждение моего курса с мисс Вектор мы запланировали на вторую половину дня в субботу. Септима Вектор оказалась помолвленной с ассистентом по ЗОТИ. Я поговорил с Септимой, побывал на её занятиях у третьего и четвёртого курса. Пообщался с другими профессорами, поспрашивал студентов. Меня интересовало, какие трудности бывают у школяров в обыденных вычислениях. Сразу скажу, что в итогах я почти не сомневался. Действительно, никаких неожиданностей не было. Всё то же. Во всём мире учат базовой математике, наступая на одни и те же грабли.*****
— В нумерологии, если у вас проблемы на начальных стадиях, они очень мешают дальнейшему продвижению. Так всё взаимосвязано и так всё зависит от предыдущего материала. Этот материал зависит от своего предыдущего. Спускаясь с вершины к основанию — всё зависит от базового материала. — Я побеседовал с вами и с вашими профессорами и выявил кое-какие проблемы. Их всего три, они известны, и я знаю, как их победить. Быстро. За одно короткое занятие. — Завтрак кончается в девять. Пятнадцать минут на подготовку Большого зала, и в четверть десятого мы начинаем. — Первая часть занятия — о трудностях с отрицательными числами. Со знаком минус. Много раз проверено, и не только мною: после правильного объяснения эти трудности исчезают. Там простая причина и простое объяснение, поэтому эта часть занятия будет короткой. — Как положено у приличных людей на таких мероприятиях, в перерыве будет накрыт стол с соками, чаем, кофе и выпечкой. Перерыв на кофе пятнадцать минут. Представим себе, что у нас настоящая научная конференция. Или семинар. — Вторая часть — о трудностях при работе с буквами вместо чисел. Уравнения. Алгебра. Причину этого я не назову простой, но хорошее объяснение очень помогает. Я это умею. Проверено. Эта часть будет чуть длиннее. После неё — перерыв на кофе. Пятнадцать минут. — Третья, четвёртая и пятая часть — о трудностях с дробями. Все эти числители-знаменатели. Причина тут простейшая, как со знаком минус, но объяснение намного сложнее. Поэтому эта тема поставлена в конец и излагается в три приёма. После этого наступит время обеда, на котором на десерт будет мороженое. — После обеда я занят, а в воскресенье вы сможете со мной пообщаться. Устроимся, если погода позволит, где-нибудь на берегу озера и поговорим. Возможно, факультет Рейвенкло захочет пригласить меня в свою гостиную. Непринуждённое общение в различных форматах. — На занятие могут прийти все, кто пожелает. Ваши гости тоже. Я гарантирую, что вам будет интересно, даже если в упомянутых вопросах вы чувствуете себя уверенно. Захватите с собой, чем и на чём записывать. — По моим наблюдениям: в магловских школах те же самые проблемы, и решения у них такие же. Если вы до одиннадцати лет ходили в обычную школу, не стесняйтесь, приходите.*****
Не знаю, сколько студентов (студенток) повелось на моё мужское обаяние, скольким было просто интересно, сколько нуждались в помощи, и сколько были подкуплены угощением, но на занятие пришло около двухсот человек — больше половины Хогвартса. Иностранцы пришли все, с директорами. Я попросил всех устроиться на своих обычных местах за столами факультетов. Септима Вектор и Аврора Синистра сели за стол своего бывшего факультета — Рейвенкло. Игорь Каркаров и мадам Максим сели со своими студентами. А за столом Слизерина устроились лорд Малфой и лорд Гонт. Профессорский стол был убран. На возвышение я поставил столик для себя и белую доску с маркерами. В магловских школах США такие доски как раз начали вытеснять обычные чёрные доски с мелом. Но вообще-то я собирался использовать иллюзии. В частности, всё, что писалось на доске, должно было появляться в увеличенном виде на стене зала. Рита Скитер тоже пришла. С ней я договорился, что колдографировать можно будет только в перерывах; о том же я предупредил Колина Криви.*****
— Леди и джентльмены! Очень рад снова говорить с вами. Я вижу, что заинтересовал вас, и надеюсь не обмануть ваших ожиданий. — Сейчас мне понадобится помощник. Настоящий мужчина, отважный, как гриффиндорец. Или просто гриффиндорец. Или студентка. Помощнику или помощнице предстоит подняться сюда, под диктовку написать формулу и ответить на простой вопрос. Вот, вижу гриффиндорца. Мистер? Де́ннис Криви, первый курс. Не так уж много вам приходилось считать здесь на первом курсе. Программа такая. Вы учились у маглов? Как я говорил вчера, в магловских школах трудности те же. — Берите маркер, пишите… Не видели такой доски? Они изобретены ещё в шестидесятых, но входят в употребление только теперь. В США, по крайней мере. Готовы? — Минус… скобка открывается… минус три минус пять… скобка закрывается. Получилось: −(−3−5). — Вопрос: это число отрицательное или положительное? — Отрицательное! — Почему? — Потому что минус впереди! — Спасибо, мистер Криви, можете сесть на место. — Магловские математики и наши нумерологи подвержены одному греху. Они обозначают одинаковыми знаками разные вещи. В том, что написано на доске, три знака минус. И все они имеют разный смысл. — Это называется «перегрузка знака операции». Причина всех сложностей с отрицательными числами у школьников — знак минус перегружен! [Англ.: operator overloading.] — Идём в обратном направлении. Третий минус, между числами 3 и 5 — это знак операции. Обычное вычитание. Операция над двумя числами. — Второй минус, перед тройкой — это составная часть числа. Отрицательного числа −3. — Самый первый минус, перед скобкой — это знак операции. Она называется «изменение знака». Выполняется над одним числом. Если число положительное, и мы меняем знак, результат отрицательный. Если число отрицательное и мы меняем знак, результат положительный. — Я покажу вам магловскую машинку для счёта, называемую «калькулятор», — на заднем плане появилась иллюзия простейшего калькулятора в два человеческих роста. — Видите, здесь две клавиши с минусами. Просто «−» — вычитание. А «/−/» — это изменение знака. На некоторых моделях эту клавишу помечают «+/−». Смотрите, я набираю: один… минус… два… равно… ответ −1, как и положено. Теперь нажимаю изменение знака и получаю просто 1. Опять изменяю знак — опять −1. Набирала иллюзорная ручища, размерами соответствующая калькулятору. — Решаем наш пример на калькуляторе. Сначала считаем то, что в скобках. Набираю 3, изменяю знак. Получили −3. Приходится так, отдельной третьей клавиши с минусом специально для набора отрицательных чисел нет. Набираю −5=. Получаю −8. Это в скобках. Минус перед скобкой — изменение знака. Ответ 8. Положительный. — Вы сказали «минус впереди». Думаю, теперь вы поняли: если минус впереди есть составная часть числа — да, оно отрицательное. Но если минус впереди есть операция «изменение знака», результат может быть и отрицательный, и положительный. И ноль, конечно. −(5−5) = 0. — Вопросы есть? — Ну почему нам это вот так просто и понятно не объяснили в школе? — Потому что вашим учителям их учителя тоже не объясняли. А тем тоже не объясняли. Когда-то всё зазубривали, а понимания не требовалось. Так и повелось. Книгу для школьников, из которой я взял это объяснение, написал русский математик Виктор Уфнаровский в 1987 году. В книге автор приводит слово в слово тот же диалог «потому что минус впереди» и говорит, что это реальные слова русского школьника. Как видите, мучения русских школьников не уступают вашим! [Уфнаровский В.А. Математический аквариум. — Кишинёв: Штиинца, 1987. — 216 с. Есть в сети: http://www.vixri.ru/?p=502. Неоднократно переиздавалась. 3-е издание, дополненное и исправленное: М., МЦНМО, 2014. — 256 с. — ISBN 978−5−4439−0615−7. Про знак минус — стр. 30–31 в издании 1987 г. Автор с неизменным успехом воспроизводил это объяснение, в том числе для собственной внучки.] — Ещё вопросы? Да, я знаю русский язык. И несколько других. Ещё вопросы? Проблемы с дробями — из-за перегрузки знака равенства. Ещё вопросы? Знаки операции перегружают, потому что их разные смыслы между собой гармонично согласуются. Вроде того, что 0−1=−1=−(+1). Слишком много разных знаков — тоже нехорошо. Ещё вопросы? Минус обозначает изменение знака, когда он стоит или перед скобкой, или перед буквой в начале формулы, в том числе формулы в скобках. Минус перед цифрой в такой же позиции — знак отрицательного числа. В остальных случаях это бинарная операция вычитания. Кстати, с плюсом та же история. Просто в роли операции сохранения знака или в роли знака числа плюс чаще всего не пишут. Ещё вопросы? — Перерыв на кофе! Выпечка на столах. Напиток: легонько постучите по столу пальцем и негромко скажите «кофе, пожалуйста». Или «апельсиновый сок, пожалуйста». Какой хотите. Нет, мистер Уизли, пива не будет. И огневиски не будет.*****
— В центре русской столицы Москвы стоит старинная крепость Кремль. В Кремле туристам показывают, в числе прочих достопримечательностей, Царь-пушку и Царь-колокол. Я показал иллюзию того и другого с фигурами туристов для масштаба. — Однажды туристы спросили гида, сколько весят эти артефакты. Гид ответил: «Если бы русскому царю захотелось отлить 3 такие пушки и 2 таких колокола, ему понадобилась бы 521 тонна металла. А если бы царь велел отлить 2 пушки и 1 колокол, на них пошло бы 280 тонн». Теперь я спрашиваю вас: сколько весит пушка и сколько весит колокол? Тонна метрическая, которая 1000 килограммов, но это не важно. Ответ нужен в тоннах. [Как всегда, попав в арифметическую задачу, туристы и гид резко стали тупее даже Задорновских американцев. Начнём с того, что в реале рядом с обоими экспонатами есть таблички на нескольких языках с указанием веса…] — Давайте наглядно изобразим, что нам известно. Я поставил на площадку сзади себя иллюзию двух громадных весов. На одной чашке первых весов появились 3 пушки и 2 колокола, на второй чашке — куча гирь с надписью «1» на каждой. Над чашкой светилась надпись «521», от которой шла стрелка к гирям на чашке. Соответственно вторые весы на одной чашке имели 2 пушки и 1 колокол, на второй — 280 гирь. — Теперь поставим на первые весы ещё столько же груза. На первых весах оказались 6 пушек и 4 колокола, уравновешенные кучей из 1042 гирь. — На вторые весы поставим втрое больше груза. Слева будут 6 пушек и 3 колокола, справа 840 гирь. — А теперь снимем с первых весов 6 пушек и 3 колокола. Слева останется 1 колокол. Но справа надо снять гири! Сколько? Правильно, 840, согласно показаниям вторых весов. Имеем 1 колокол слева и 202 гири справа. Колокол весит 202 тонны. — Теперь вспомним, что было на вторых весах в начале. Слева были 2 пушки и 1 колокол, справа 280 гирь. Иллюзия поменялась. — Вместо колокола поместим 202 гири. — Наконец, снимем 202 гири слева и 202 гири справа. Равновесие не нарушится. — Слева 2 пушки, справа 78 гирь. Сколько весит одна пушка? Вот именно, 39 тонн. — Пока всё понятно? Тогда предположим, что иллюзии я показывать не умею, а хочу это рисовать на бумаге, — с потолка свесилась иллюзия длиннющей полосы бумаги со всеми картинками. — Если я буду рисовать пушки и колокола, да и гири, со всеми деталями, сколько я провожусь? Давайте вместо пушки возьмём просто букву C, а вместо колокола B. А чтобы не рисовать кучу гирь, буду рисовать кружок вместо кучи, а в кружке записывать, сколько там гирь. Согласны? [Англ.: canon, bell.] Рисунок преобразовался соответственно моим предложениям. — По-моему, это так же понятно, как исходный рисунок. А рисовать проще. Хотите что-то сказать? — Это понятнее исходного рисунка, потому что детали не отвлекают от сути дела. — Благодарю вас, мисс… — Лу́на Лавгуд, Слизерин, четвёртый курс. [См. эпилог. Лорд перевёл невесту на Слизерин.] — Очень верное соображение, мисс Лавгуд. Будем упрощать рисунок дальше. Зачем нам писать три буквы C и две буквы B? Давайте напишем 3×C и 2×B. На иллюзии листа бумаги всё опять поменялось. — Дальнейшие упрощения понятны? То, что лежит на одной чашке весов, соединяем знаком «+». Весы не рисуем вообще, а то, что они в равновесии, указываем знаком равенства. — Наконец, вместо символических C и B пишем, по обычаю нумерологов, x и y. Так привычнее. В книгах они печатаются курсивом. Я опять поменял иллюзию. — К чему мы пришли? К уравнениям. Кто теперь скажет, что эти уравнения непонятны? — Я ещё раз изменил иллюзию. Теперь стена сзади меня была завешана лентами бумаги, начиная с исходной (с картинками), и кончая последней (с уравнениями). — Исходя из рисунков, можно записать ход решения системы уравнений. Умножаем первое уравнение на 2, второе на 3, вычитаем второе из первого, сразу получаем x, подставляем во второе уравнение, вычисляем y. Соответствующие записи добавились на ленте после уравнений и продублировались под рисунками. — Это просто дело привычки. Если вы понимаете суть, то вы глядите на это, — я показал на полосу с уравнениями, — а видите те первоначальные картинки. И наоборот: глядите на картинки, а видите уравнения. А ещё лучше глядеть на текст задачи и сразу видеть уравнения. Надеюсь, вы поняли, что это не сложно. Мисс Лавгуд? — Принято опускать знак умножения между числовым коэффициентом и буквой. — Верно, запись становится ещё короче. Итак. Всё понятно и наглядно. Но где же подвох? Почему ученики не понимают уравнений? Подвох есть. — Когда мы ставим предмет на весы, нас не интересует предмет как таковой. Нас интересует, сколько гирь надо, чтобы весы были в равновесии. Нас интересует вес предмета, то есть, число. На весах мы не имеем дело с предметами. Мы сравниваем числа. Когда я ставлю на весы пушку, я не собираюсь стрелять из неё. Пушка на весах изображает число — свой собственный вес. Ничто другое нас не интересует. Поэтому x в уравнении — это не пушка, а y — не колокол. Это числа. И та пушка на первом рисунке — не пушка, а число гирь, которые надо ставить вместо неё. Только мы это число ещё не знаем. Но делать с ним можно всё, что делают с числами: складывать, вычитать, умножать, делить. И ничего больше. Стрелять из икса нельзя. — Вот в этом подвох. Студенты не понимают, что надо абстрагироваться, то есть, отвлечься от любых других свойств предмета, оставив только число. Вопросы? [Задача с пушкой и колоколом — из задачника внучки автора (тогда 11 лет). Она получила именно такое объяснение с рисунками. В дальнейшем трудностей с уравнениями у неё не наблюдалось.] — Точно всё понятно? Или вам так понравился перерыв на кофе, что вы решили не тратить время на вопросы? Хорошо, раз вопросов нет — перерыв!*****
— С подачи кого-то нетерпеливого я уже разгласил секрет дробей. Да, это были вы, мисс Лавгуд! Проблемы в понимании дробей происходят из перегруженности знака равенства. — В конце разговора про знак минус я привёл пример: 0−1=−1=−(+1). Тут показаны три смысла знака «−». Напомню: из трёх присутствующих минусов первый — знак операции вычитания, второй — знак числа, часть записи отрицательного числа, третий — знак операции изменения знака. Оба знака равенства в цепочке обычные: с обеих сторон стоит один и тот же математический объект, в данном случае — целое число −1. — А теперь — пример с перегрузкой равенства. В цепочке 2/3+4/3 = (2×3+4×3)/(3×3) = 18/9 = 2/1 = 2 четыре знака равенства, и все они имеют разный смысл. — Первый из четырёх знаков равенства читается «есть по определению». Да, запись a/b+c/d = (a×d+c×b)/(b×d) есть определение сложения дробей. Просто вместо букв подставлены конкретные целые числа. — Сама по себе дробь определяется как упорядоченная пара целых чисел, числителя и знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю и всегда положителен. Запись тоже специфическая. Упорядоченная пара обычно пишется в скобках: (a, b). Дробь пишут a/b, тем самым перегружая знак деления. Тоже причина для путаницы. На доске я показал и второй способ записи дроби: числитель и знаменатель друг над другом, разделённые горизонтальной чертой. — Второй знак равенства — обычный. Можно сказать, честное равенство. С обоих сторон знака стоят дроби. Они равны как упорядоченные пары: первый элемент, или числитель, одной равен числителю второй, и знаменатель одной равен знаменателю второй. 2×3+4×3 = 18, и 3×3 = 9. В этих равенствах с обеих сторон одни и те же целые числа. Соответственно (2×3+4×3)/(3×3) = 18/9 есть обыкновенное равенство упорядоченных пар. — Третий знак равенства не может быть математическим равенством упорядоченных пар, потому что и числители, и знаменатели разные. Если это равенство, то какое-то кривое, связанное с сокращением дробей. — Попробуем разобраться, на каком основании пишут 18/9 = 2/1. Для целых чисел можно указать — и даже строго доказать, если не лень — дополнительный «признак равенства». Два целых числа равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю. Итак, возьмём две заведомо равные дроби, и посмотрим, какая у них разность. Мы считаем, что уже определили вычитание как действие, обратное сложению, и умеем вычитать дроби. Этот несложный кусок теории мы пропустим. — Итак, 2/3-2/3 = (2×3-2×3)/(3×3) = (6-6)/9 = 0/9. Получили дробь с числителем 0. А теперь вычтем 18/9–2/1 = (18×1–2×9)/(9×1) = (18–18)/9 = 0/9. Тоже числитель 0. Мало того, 2/3–2/3 = 0/9 = 18/9–2/1, и все эти равенства — настоящие. С каждой стороны знака равенства стоит один и тот же математический объект — дробь 0/9, она же упорядоченная пара (0,9). Вот на этом основании мы можем считать, что имеем право сокращать дроби и писать, что 18/9 = 2/1 — потому что разность этих неравных с первого взгляда дробей равна разности двух других, равных дробей. — Дальше такого объяснения в школах не заходят. Но даже такое куцее обоснование в школе дают очень редко. Просто говорят, что дробь можно сокращать и писать при этом знак равенства. И на этом ваше математическое образование останавливается. Потому что вам говорят неправду — так обращаться со знаком равенства нельзя! А как можно, я расскажу в четвёртой части этого урока. — Осталось четвёртое равенство 2/1 = 2. Если рассматривать его вне связи с дробями, его можно считать обычным. Кто-то может подсказать, как? Мистер Криви? — 2 делить на 1 равно 2. — Совершенно верно. Косая черта перегружена. Если её считать не обозначением дроби, а делением — мы имеем обычное равенство. А если считать 2/1 дробью, тут сложнее. Упорядоченная пара целых чисел (2,1) и целое число 2 — разные объекты. Пара состоит из двух чисел. Как два числа могут равняться одному? Никак. — В школе в этот момент говорят, что знаменатель 1 можно отбросить и употребить знак равенства. Но это не будет настоящее математическое равенство, и на самом деле так поступать нельзя. Попробуем высосать из пальца хоть какое-то обоснование. — Напишем очевидное и правильное равенство: (2/1)×(1/1) — (1/1+1/1) = 0/1. А теперь вспомним школьное определение умножения целых чисел. Умножение целых есть сокращённая запись сложения. То есть, вместо 5+5+5 пишем 3×5. Когда мы решаем уравнения, то поступаем так с буквами: вместо x+x пишем 2×x или даже 2x. А почему бы не поступить так с дробями? Вместо 1/1+1/1 напишем 2×(1/1). — Заметьте: мы к разным объектам приделываем числовой коэффициент. Так можно делать, и эта идея даже приводит к очень глубоким математическим теориям. Но вернёмся к нашему равенству. — Итак, 0/1 = (2/1)×(1/1) — (1/1+1/1) = (2/1)×(1/1) — 2×(1/1) = (2/1–2)×(1/1). Любая дробь, умноженная на 1/1, равна себе. Оказывается, 2/1–2 = 0/1, то есть, 2/1–0/1=2, или 2/1=2. Большего вам в школе не объяснят. И, к сожалению, это объяснение неверно. Мы не определили строго разность между дробью и целым числом, а считали по аналогии. По аналогии в математике рассуждать опасно, и тому есть масса примеров. — Мы пришли к точке, на которой вас бросают в школе. Многие просто зазубривают правила и бездумно по ним считают. Так жить тоже можно. Но интуиция подсказывает вам: вас надурили, так жить нельзя. Вот это противоречие между скрытой от вас истиной и преподанной вам ложью подсознательно не даёт вам покоя и отторгает вас от математики. Школьники в большинстве своём ломаются на дробях, перестают понимать математику и даже начинают её ненавидеть. — Вопросы по третьей части? Почему в школах так учат? Краткий ответ — так исторически сложилось. Об этом поговорим в своё время. Ещё вопросы? Почему не определить недостающую нам разность дроби и целого и не построить на этом верную теорию? Можно, но не нужно. Такое определение годится только для конкретного случая. На этом пути вам придётся определять сотни операций для всех возможных типов операндов. А я покажу вам общий метод, единый для всех случаев. Ещё вопросы? Перерыв на кофе.*****
— У нас два неясных вопроса: как понимать знак равенства при сокращении дробей, и как понимать вроде бы невозможное равенство между дробью и целым числом. — Чтобы разъяснить первый вопрос, нам понадобится технический приём, который называется факторизацией. Это разбиение множества на подмножества с помощью отношения эквивалентности. Мы придумываем какое-то свойство двух элементов множества. Если они ему удовлетворяют, они эквивалентны. Единственное требование — транзитивность. Если a эквивалентно b, и b эквивалентно c, то a должно быть эквивалентно c. — Эквивалентность путают с равенством, потому что единственным используемым свойством равенства тоже является транзитивность. Если a=b и b=c, то a=c. Равенство есть математический факт — мы имеем слева и справа один и тот же математический объект. 1+1=2. Сумма слева есть 2, и получаем 2=2. Эквивалентность мы определяем произвольно, лишь бы соблюсти свойство транзитивности. — Если на множестве есть отношение эквивалентности, оно распадается на классы эквивалентности. Класс эквивалентности — это подмножество всех попарно эквивалентных элементов множества. Из-за транзитивности такое разбиение однозначно. — Возьмём множество целых чисел. Объявим, что два целых числа эквивалентны, если их разность чётная. Прежде всего проверим транзитивность. Пусть a–b и b–c чётные. Тогда a–c = (a–b)+(b–c) будет чётным как сумма двух чётных чисел. Транзитивность имеет место. — Это отношение эквивалентности факторизует множество всех целых чисел на два подмножества или класса эквивалентности. В одном будут все чётные числа, в другом — все нечётные. То есть, по нашему определению эквивалентности, все чётные числа попарно эквивалентны, все нечётные — тоже, и ни одно чётное число не эквивалентно никакому нечётному. Обозначим первое подмножество буквой e, а второе — буквой o. [Англ.: even, odd.] — А теперь начнём обращаться с этими подмножествами, как с числами. Будем выполнять над ними арифметические действия. Сложение определяем так: если надо сложить два класса эквивалентности, берём из них по одному элементу-представителю и складываем их как целые числа. Результат есть тот класс, в который попал результат сложения. Если отношение эквивалентности выбрано удачно, результат не будет зависеть от выбора представителей. — Попробуем найти e+e. Множество e = {… –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, …}. Произвольно выбираем представителей –18 и 30. Складываем. Результат 12 попадает в множество e. Каких бы представителей мы не взяли, они будут чётными, и их сумма тоже будет чётной, то есть, принадлежать множеству e независимо от выбора представителей. Поэтому e+e = e. Нетрудно видеть, что e+o = o, o+e = o, и o+o = e. — Наше определение эквивалентности удачное: оно позволило нам индуцировать на фактор-множестве {e,o} операцию сложения. Мы даже получили полную таблицу сложения. Действуя точно так же, мы определим на этом множестве индуцированную операцию умножения. Легко получить и полную таблицу умножения: e×e =e, e×o = e, o×e = e, и o×o = o. Мисс Лавгуд? — Не слишком ли это сложно? Вы определили эквивалентность, выполнили факторизацию, индуцировали операции на полученном множестве. Но ведь равенство e+o = o — это просто другой и очень запутанный способ сказать, что сумма чётного и нечётного числа есть нечётное число. — «Сумма чётного и нечётного числа нечётна» — это всего лишь слова, и что с ними делать? Я показал способ преобразовать эту расплывчатую словесную формулировку в точную формулу, с которой можно серьёзно работать. Если говорить о дробях, «сократи дробь, поставь знак равенства и ни о чём не думай» — это просто болтовня. Но вот мы прямо сейчас возьмём множество дробей, факторизуем его с подходящим определением эквивалентности — и вместо болтовни увидим некий смысл, да ещё выраженный формулами. Мисс Лавгуд, вы уже можете сказать, какое будет определение эквивалентности для дробей? — Это очевидно — две дроби эквивалентны, если они сокращаются до одной и той же дроби. — А когда мы пишем 18/9 = 2/1, каким смыслом мы перегружаем знак равенства? — В этом случае знак равенства выражает эквивалентность при факторизации дробей. — Великолепно, мисс Лавгуд! Имею ли я право начислить двадцать баллов дому Слизерин? Ага, имею, — в песочные часы Слизерина посыпались изумруды. — Тогда ещё два балла Слизерину за ранее сделанные мисс Лавгуд замечания, и три балла Гриффиндору. Мистер Криви дал неверный ответ и получает не пять, а только три балла — за отважную демонстрацию типичной ошибки. И ещё один балл Гриффиндору за разъяснение мистера Криви по перегрузке знака деления.*****
— В математике дроби не являются числами. Мы можем делать с ними вычисления, но у системы из дробей и операций над ними нет всех тех свойств, которые математики ждут от чисел. Дроби в вычислениях только представляют рациональные числа. — Рациональное число — это бесконечное множество дробей, которые сокращаются до одной и той же несократимой дроби. Например, {−1/3, −2/6, −3/9, …} — это рациональное число. Вот ещё одно: {2/1, 4/2, 6/3, … , 18/9, 20/10, …}. — Чтобы сложить два рациональных числа, из каждого берут по элементу-представителю. Эти дроби складывают. Смотрят, в какое рациональное число попал результат. Это рациональное число по определению и будет суммой. То же самое со всеми остальными операциями. — Как уже говорилось, мы должны быть уверенными, что результат операции не зависит от выбора представителей, то есть, что мы всегда попадём в одно и то же рациональное число. Это легко проверяется. Например, для сложения. Пусть a/b и c/d — несократимые дроби, а m и n — натуральные числа, то есть, целые больше 0. Тогда (ma/mb)+(nc/nd) = (ma×nd+mc×nb)/(mb×nd) = (mn(a×d+c×b)/(mn(b×d)) = (a×d+c×b)/(b×d). Последняя дробь может оказаться сократимой, как в нашем примере 2/3+4/3, но она всегда одна и та же при любых m и n. В этой цепочке из трёх равенств первое — определение сложения дробей, второе — обычное равенство, третье — эквивалентность дробей при факторизации. 18/9 = 2/1 есть сокращённая запись равенства двух рациональных чисел. Мы должны были бы записать что-то вроде {2/1, 4/2, 6/3, … , 18/9, 20/10, …} = {2/1, 4/2, 6/3, … , 18/9, 20/10, …}. Но мы не можем писать бесконечные формулы. Мы просто написали справа и слева от знака равенства какие-то два представителя этого рационального числа. — У рациональных чисел с такими операциями присутствуют все нужные для чисел свойства. Пока поверьте мне на слово, объяснение будет в пятой части занятия. — Что мы проделали уже два раза? Мы имели множество объектов и математическую структуру над ними. Мы сгруппировали эти объекты в подмножества по какому-то критерию и попробовали перенести на полученные подмножества эту структуру. По принципу: берём на роль представителей подмножеств любые их элементы и смотрим, чтобы в результате наложения структуры мы всегда попадали в одни и те же подмножества. Если критерий разбиения на подмножества подобран правильно, это удаётся. Мы получаем новую, индуцированную структуру уже над подмножествами множества прежних объектов. — Этот типовой приём называется факторизацией, а критерий группировки — эквивалентностью. То, что получается при удаче, называется фактор-структурой. — Итак, третий смысл знака равенства дробей — эквивалентность при факторизации их в рациональные числа. Две дроби эквивалентны, если они сокращаются до одной и той же дроби.*****
— Четвёртое равенство 2/1 = 2, если считать 2/1 дробью, кажется невозможным. Упорядоченная пара целых чисел и целое число — разные объекты. О равенстве и речи быть не может. Но и на такой печальный случай у математиков есть типовое решение. Называется оно «изоморфизм». — Возьмём множество из двух целых чисел {0,1}. На этом множестве определим операции сложения и умножения. Множество конечное, так что просто зададим таблицы. Таблица сложения: 0+0 = 0, 0+1 = 1, 1+0 = 1, 1+1 = 0. Складываем и берём остаток от деления на 2. Таблица умножения: 0×0 = 0, 0×1 = 0, 1×0 = 0, 1×1 = 1. Тут просто умножение. — Теперь возьмём ранее построенную нами математическую структуру: факторизацию целых чисел на чётные и нечётные {e,o} с операциями сложения и умножения. Между элементами множеств {e,o} и {0,1} установим взаимно-однозначное соответствие: e↔0, o↔1. А теперь посмотрим, что при этом взаимно-однозначном соответствии происходит с операциями. Например, возьмём e×o = e и заменим e на 0, а o на 1. Получим 0×1 = 0. Верное равенство из одной математической структуры превратилось в верное равенство из другой математической структуры. И так будет для всех равенств в наших таблицах сложения и умножения. Оказывается, наше взаимно-однозначное соответствие ещё и сохраняет операции! Такое взаимно-однозначное соответствие множеств, при котором сохраняются построенные на них математические структуры, называется изоморфизмом. — Среди всех рациональных чисел выделим те, у входящих в которые дробей есть знаменатель 1. То есть, вида {a/1, 2a/2, 3a/3, …}, где a — любое целое число. Это подмножество замкнуто относительно сложения и умножения: (a/1)+(b/1) = (a+b)/1; (a/1)×(b/1) = (a×b)/1. То есть, при сложении и умножении мы остаёмся в том же подмножестве рациональных чисел. — Установим взаимно-однозначное соответствие a↔{a/1, 2a/2, 3a/3, …}. Это взаимно-однозначное соответствие сохраняет операции. a+b↔{(a+b)/1, 2(a+b)/2, 3(a+b)/3, …}, и то же самое с умножением. — Мы получили подмножество рациональных чисел, которое не просто взаимно-однозначно отображается на целые числа, но отображается с наложенной на целые числа математической структурой. — Две изоморфные структуры невозможно отличить друг от друга внутренними средствами. То есть, нельзя проделать правильное вычисление с целыми числами, которое было бы неправильным для изоморфной им части рациональных чисел. Просто пририсуем к каждому целому знаменатель 1. Операции сохраняются, результаты отображаются в результаты. Наоборот, если мы доказали теорему про изоморфное целым числам подмножество рациональных чисел, в котором использовали только их — эта теорема будет верна и для целых чисел. Надо во всём доказательстве стереть знаменатели 1. — Поэтому математики условились не различать изоморфные структуры. Мы можем спокойно считать, что среди рациональных чисел есть целые, и писать a/1 = a, как будто дробь может равняться целому. Правильная запись a ↔ {a/1, 2a/2, 3a/3, …}, но это очень громоздко и неудобно. — Итак, в цепочке 2/3+4/3 = (2×3+4×3)/(3×3) = 18/9 = 2/1 = 2 первый знак равенства читается «есть по определению», второй — обычное поэлементное равенство упорядоченных пар, третий — эквивалентность при факторизации дробей в рациональное число, четвёртый — изоморфизм между рациональным числом и целым числом. Дополнительное осложнение — присутствует перегруженный знак деления. Неудивительно, что школьники путаются. Даже профессионалы во всём разобрались совсем недавно, ко второй половине двадцатого века. — Кроме этих четырёх смыслов знака равенства и перегрузки знака деления, есть ещё факторы, способствующие дезориентации школьника. Как вам запись 39/4 = 9¾? Теперь вы понимаете, что это значит: 39/4 = 9/1+¾ = 9+¾ с опущенным знаком плюс, причём в цепочке второй знак равенства частично изображает изоморфизм. А ведь школьники начинают изучение дробей прямо с этого! А пропорции — частный случай дробей? А проценты — зачем-то выделенные дроби со знаменателем 100, причём числитель может оказаться не целым? А десятичные дроби? В любой школе мира всё это сваливают на школьников огромной бесформенной и бессмысленной кучей, и попробуй разберись! Именно поэтому я уверен, что интерес учащихся к математике или нумерологии для огромного большинства кончается именно на дробях. — Почему так получилось? Человечество работает с делением и дробями уже несколько тысяч лет! Все приёмы просто зубрили. Не так уж давно деление в столбик изучали на последних курсах университета. А для практики придумывали всякие фокусы. Кто-то облегчил себе жизнь, придумав пропорции. Кто-то придумал проценты. И всё это влетело в школьную программу, причём без чёткого понимания основ. Так оно испокон веков и тянется. — Вопросы? В пятой части занятия я расскажу, почему дроби не являются числами — то есть, какие новые свойства появляются у рациональных чисел по сравнению с дробями. Ещё вопросы? Перерыв на кофе!*****
— Уравнения и операции с буквами, которые учат в школе — это элементарная алгебра. Нам же придётся привлечь высшие разделы алгебры. Не пугайтесь слова «высшие». Я действительно не понимаю, почему это нельзя объяснять в вашем возрасте. Можно! Я много раз пробовал, и это очень помогало достичь полной ясности. Вам тоже поможет. — Пусть есть множество, на котором определена бинарная операция. Например, целые числа, включая положительные, ноль и отрицательные, и сложение. Важные слова здесь — предлог «на» и «бинарная». Бинарная — два операнда. В нашем примере сложение определено для двух целых чисел. «На» — операция определена для любых двух элементов множества, и результат есть элемент того же множества. В нашем примере — мы умеем складывать любые два целых числа, и результат будет целым числом. — У этой операции должны быть некоторые свойства. Их всего три. Первое обязательное свойство — ассоциативность. В буквенных обозначениях (a+b)+c = a+(b+c). a, b и c — элементы множества. Напоминаю — операция бинарная, поэтому мы обязаны писать скобки. Но после того, как появилась ассоциативность, скобки можно опускать. Для сложения целых чисел вы это свойство знаете, верно? — Второе обязательное свойство — есть нейтральный элемент. При операции с нейтральным элементом результат совпадает с другим операндом. В примере с целыми числами нейтральный элемент — это ноль: a+0=a. — Третье обязательное свойство — операция обратима. В примере с целыми числами уравнение x+a=b, где x — неизвестное, a и b — известные элементы множества, всегда имеет решение x=b−a. a и b могут быть любыми целыми, и найденный x — целое. — Множество с такой операцией на нём называется группой. Говорят, что целые числа образуют группу по сложению. Подчеркну: для групповой операции обязательны только эти три свойства. Мисс Лавгуд? — Сложение целых чисел имеет ещё свойство коммутативности: a+b=b+a. — Один балл Слизерину. В теории групп коммутативность не обязательна. Математики и нумерологи с большим успехом изучают и используют некоммутативные группы. Пример некоммутативной операции: сцепление строк. Скажем, «кисло» * «род» = «кислород». Я обозначил операцию сцепления звёздочкой. Коммутативности нет: «род» * «кисло» = «родкисло». Нейтральный элемент — «», пустая строка. Первая и простейшая теорема о некоммутативных группах — левый нейтральный элемент равен правому. Достаточно рассмотреть произведение левого нейтрального элемента на правый — оно равно и тому, и другому. — А вот с обратимостью у сцепления строк плохо. Обратимость есть не всегда. Например, если «кисло» * x = «кислород», отрезаем от «кислород» пять букв слева и получаем x = «род». Соответственно для x * «кисло» = «прокисло» отрезаем пять букв справа, x = «про». Однако уравнение «муха» * x = «таракан» не имеет решения, а в группе обязано, иначе это не группа. — Тем не менее со строками и операцией сцепления можно построить пример некоммутативной группы. Возьмём алфавит из двух букв f и r. Пустую строку будем обозначать 1, и примем три дополнительных правила: f²=1, r³=1, rf=fr². Надеюсь, вы понимаете, что запись f² — это две буквы f подряд, или строка «ff». Первое правило значит, что если вы написали длинную строку, и в ней есть две буквы f подряд, их можно заменить на пустую строку, то есть, убрать. — Первые два правила позволяют урезать длинные последовательности одинаковых букв до одной или двух. Третье правило позволяет переставить букву f вперёд. Получается, что строку любой длины с любым чередованием букв можно привести к одному из шести вариантов: 1, f, fr, fr², r, r². Для этого надо с помощью третьего правила загнать все f в начало строки, по ходу дела сокращая длинные цепочки одинаковых букв. Например, r²f = rfr² = fr²r² = fr⁴ = fr. — Для конечного числа элементов проще всего расписать таблицу умножения, что мы и сделаем. Сразу будем упрощать строки, например, frf = ffr² = r². [См. http://samlib.ru/img/k/kotjara_l/nyp/necomm.png] — Мы видим, что в каждой строке и в каждом столбце есть ровно одна 1. Это значит, что у каждого элемента есть правый и левый обратный, то есть, уравнения x*a=b и a*x=b решаются умножением на соответствующий обратный. — Эта группа из шести элементов на самом деле минимальная. Некоммутативных групп меньше чем с шестью элементами не бывает. Она же единственная — других некоммутативных групп с шестью элементами нет. Больше о некоммутативном случае говорить не будем, это нам не понадобится. — Пример очень неочевидный, но… в принципе эти свойства такие простые! Что там изучать? — Разработку теории групп начал французский математик Эварист Галуа в 1830-х годах. Пока работы хватает. Именно теория групп, притом в самом начальном разделе, содержит самую сложную теорему математики. Её доказывают сотни математиков по частям, начиная с 1955 года. Уже сорок лет. Доказательство никогда не было напечатано в одной книге, а разбросано по многочисленным статьям объёмом более пятидесяти тысяч страниц. В такой ситуации в доказательстве до сих пор находят ошибки и пропуски, но их успешно устраняют. Надеются лет через десять-пятнадцать закончить. Хороший вопрос, мистер Криви, один балл Гриффиндору! [Конечно, профессор знает, что фактически доказательство теоремы о классификации простых конечных групп завершили в 2004 году (через 9 лет).] — На множестве целых чисел определено не только сложение, но и умножение. Вопрос: является ли группой множество целых чисел с операцией умножения? Как там с этими тремя свойствами? Я хотел бы услышать кого-нибудь не с Рейвенкло или кого-то из гостей. О, мистер Диггори с Хафлпаффа! Рад видеть, что чемпион Хогвартса увлекается нумерологией. — Умножение целых чисел имеет свойство ассоциативности. Нейтральный элемент тоже есть, это единица. А вот обратимости нет: в группе по умножению надо делить любое число на любое другое, а на ноль делить нельзя. Даже без нуля во многих парах целых чисел деление невыполнимо, потому что результат не целый. — Коротко и ясно, я бы сказал — в американском стиле. Благодарю вас. Пять баллов для Хафлпаффа. — Итак, умножение целых чисел не даёт группу. Но мы знаем один закон, который связывает сложение и умножение. Это дистрибутивность: a×(b+c) = a×b+a×c. Так вот, пусть есть множество и на нём две операции. Обязательное требование: одна из операций порождает на этом множестве коммутативную группу. Четыре закона первой операции: ассоциативность, нейтральный элемент, обратимость и, дополнительно, коммутативность. Эта операция всегда называется сложением и традиционно обозначается привычным знаком «+», а её нейтральный элемент всегда обозначают «0». Оставшаяся операция всегда называется умножением и обозначается «×». От умножения требуются только три свойства. Ассоциативность: (a×b)×c = a×(b×c). Левая дистрибутивность: a×(b+c) = a×b+a×c. Правая дистрибутивность: (b+c)×a = b×a+c×a. Кто подскажет, почему я различаю левую и правую дистрибутивность? Приятно услышать чемпиона Дурмстранга. Мистер Крам? — Умножение не обязательно коммутативное. — Совершенно верно. И нейтральный элемент умножения не обязателен. Система из множества и двух таких операций на нём называется кольцом. Если у умножения есть нейтральный элемент, он обозначается «1», и кольцо называется кольцом с единицей. Если умножение коммутативно, кольцо называется коммутативным кольцом. Что можно сказать про наш пример — целые числа? Мистер Криви? — Целые числа с операциями сложения и умножения являются коммутативным кольцом с единицей. — Верно, и два балла Гриффиндору! Если нужен пример кольца без единицы, возьмите только чётные целые числа с обычными операциями. Сумма, разность и произведение чётных целых чисел остаются чётными. Это кольцо по отношению к кольцу всех целых чисел является подкольцом. — Добавляя дополнительные свойства операций, получают многочисленные разновидности колец, которые изучают в математике. Нам это опять-таки не важно, но один пример кольца с дополнительным свойством я приведу. Элементами множества пусть будут целые числа от ноля до девяти. Операции сложения и умножения определены так: выполняем обычное сложение или умножение и берём последнюю цифру результата. Можно сказать иначе: берём остаток от деления обычного результата на десять. Вообще-то для конечного множества можно просто задать таблицу сложения и таблицу умножения. Я вывесил иллюзию таблиц. — Вы видите, что в нашем кольце, например, 4×8=2, а 7+9=6. Вопрос: будет ли эта система из десяти чисел и определённых этими таблицами операций кольцом? Будет ли это кольцо коммутативным? Будет ли оно кольцом с единицей? — Да, да и да! Это можно проверить, рассмотрев все возможные случаи, но это нудная работа. Понять же можно так: возьмём любой закон, выполнимый для целых, любые числа и проверим этот закон, записав операции. Например, дистрибутивность: 5×(2+7) = 5×9 = 45 и 5×2+5×7 = 10+35 = 45. Я изобразил соответствующие вычисления на стене. — Это верно для обычных целых. Оставим от этих вычислений только последние цифры: 5×(2+7) = 5×9 = 5 и 5×2+5×7 = 0+5 = 5. Закон проверен для этих чисел в нашей новой системе. Можно просто перебрать все варианты. Или придумать доказательство. Так что не сомневайтесь — это тоже коммутативное кольцо с единицей. Вопрос только с вычитанием. Что такое, например, 1−5? Я объяснял это, когда говорил о группах. x=1−5 есть решение уравнения x+5=1. Смотрим в таблицу сложения нашего кольца и видим, что x=6, так как 6+5=1. Получается, что нам не нужны отрицательные числа, потому что 6+4=0. Следовательно, 6=0−4=−4. Намекну: второй знак равенства перегружен. — Если считать в этом кольце в обратном порядке: 9, 8, 7 и так далее, то мы дойдём до 0, а дальше должна идти –1. Но у нас –1 = 0–1 = 9. И 9+1 = 0. Получается, что элементы этого кольца циклически повторяются: после 9 идёт 0, а перед 0 стоит 9. — Это новое кольцо имеет одно интересное свойство, которого нет в кольце целых чисел. Для целых чисел, если перемножить два ненулевых сомножителя, результат тоже будет ненулевой. Или, иначе, если результат умножения ноль, то обязательно один из сомножителей равен нулю. — Это используется при решении уравнений в целых числах. Пусть (x−1)×(x−2) = 0. Если первый сомножитель равен нулю, получаем x=1. Если второй сомножитель равен нулю, x=2. В кольце целых чисел уравнение имеет два решения. — А теперь внимательно смотрим на таблицу умножения в нашем кольце чисел от 0 до 9. Мы видим, что произведение 0 можно получить, даже если оба сомножителя не равны нулю. Это получается при умножении любого чётного числа на 5. Такое кольцо называется кольцом с делителями нуля. В кольце с делителями нуля у уравнений появляются дополнительные решения. Например, при x=6, (6−1)×(6−2) = 5×4 = 0. На досуге попробуйте найти все решения. Всего-то надо проверить десять случаев, и три решения мы уже знаем. Мисс Лавгуд? — Разность между сомножителями равна 1. Поэтому, если один из них равен 5, то второй обязательно чётный, и произведение есть 0. Следовательно, новые решения — 6 и 7. Всего решений в этом кольце четыре. — Совершенно верно, пять баллов Слизерину! Как видите, включаем ум, и перебирать варианты не надо. Пока с кольцами всё. — Теперь возьмём коммутативное кольцо с единицей и добавим ещё одно требование: всегда возможно деление, кроме деления на ноль. То есть, уравнение a×x=b, где a≠0, всегда имеет решение из данного множества. Иначе можно сказать, что элементы множества без нуля образуют коммутативную группу по умножению. — Такая система из множества и двух операций на нём называется полем. Простейшее поле — это ранее построенная нами структура из операций сложения и умножения над множеством {0,1}. Рациональные числа тоже являются полем. — Всё начинается с упорядоченных пар целых чисел. Напоминаю, что одна упорядоченная пара равна другой, если у них равны первые и вторые элементы по отдельности. Упорядоченная пара есть разновидность множества. Поэтому пара целых не может быть равна целому числу. Разные объекты. — Дробями называются упорядоченные пары целых чисел, у которых второе число в паре натуральное. То есть, целое положительное. Первый элемент пары называется числителем, второй называется знаменателем. Знаменатель дроби всегда больше 0. Знаком дроби считается знак числителя. Для дробей есть особая запись a/b, где a — числитель, b — знаменатель, что перегружает знак деления. Или пишут числитель и знаменатель друг над другом, разделяя их горизонтальной чертой. Для ещё большей путаницы такую запись иногда употребляют вместо знака деления. — Теперь определим сумму и произведение дробей. (a/b)+(c/d) = (a×d+c×b)/(b×d); (a/b)×(c/d) = (a×c)/(b×d). Из-за перегрузки знака деления я вынужден писать лишние скобки. И вот вам второй смысл знака равенства в дробях. В данном случае он читается «есть по определению». Второй смысл — это кроме обычного, «честного» равенства, которое считаем первым. — Сразу пример: (1/3)+(2/3) = (1×3+2×3)/(3×3) = (3+6)/9 = 9/9. Из трёх знаков равенства первый «по определению», два других — обычное равенство пар: числитель равен числителю, знаменатель равен знаменателю. — Можно ли сокращать? Пока нельзя. В определении сложения дробей этого нет. Мы просто следуем определению. Мы хотим видеть результат 1, но пара 9/9 не равна паре 1/1, потому что элементы у них разные. Тем более пара 9/9 не равна целому числу 1, потому что между парами целых чисел и целыми числами равенство невозможно. — Раз в системе есть сложение и умножение, то не получили ли мы кольцо? Да, дроби образуют коммутативное кольцо с единицей. Роль нуля играет дробь 0/1, роль единицы играет дробь 1/1. (a/b)+(0/1) = (a×1+0×b)/(b×1) = (a+0)/b = a/b. Что неприятно — в этом кольце, скажем, 0/3 не играет роль нуля, так же, как 4/4 не является единицей. Там знаменатели заведомо будут не равны. — Вообще-то мы хотели получить поле. Кольцо дробей является ли полем? Нет. Выкидываем сложение и ноль, то есть, дробь 0/1. То, что остаётся, должно быть коммутативной группой по умножению. Но там остались элементы с числителем 0: 0/2, 0/3 и так далее. На них нельзя делить: получим ноль в знаменателе, а это запрещено в определении дробей. Значит, у нас не поле. — Сейчас мы это кольцо факторизуем, и всё будет хорошо. Две дроби эквивалентны, если они сокращаются до одной и той же несократимой дроби. Мы уже видели, что операции индуцируются, то есть, получается фактор-кольцо. Так что, когда мы сокращаем дробь и пишем, что 4/8=½, знак равенства означает эквивалентность при факторизации. — Элементы получившегося фактор-кольца называются рациональными числами. Это фактор-кольцо есть коммутативное кольцо с единицей. Роль нуля играет рациональное число, в котором все числители входящих в него дробей равны 0. Единицей является рациональное число, в котором у каждой дроби числитель равен знаменателю. Для вычислений с рациональными числами берут из них любые дроби. Принято выделять как главного представителя рационального числа входящую в него дробь с минимальным знаменателем, она же несократимая. — Далее, если мы исключим сложение и ноль, то у нас не останется числителя 0 ни в одном рациональном числе. При факторизации они все собрались в один класс вместе с 0/1, а его мы убрали. Значит, деление всегда возможно, и получим коммутативную группу по умножению. Итак, рациональные числа образуют поле. — Теперь выделим среди рациональных чисел подмножество таких, в которых есть дробь со знаменателем 1. Ноль и единица нашего поля туда входят. Результаты операций сложения и умножения над элементами этого подмножества остаются в нём: (a/1)+(b/1) = (a+b)/1; (a/1)×(b/1) = (a×b)/1. Нетрудно проверить, что это подмножество является кольцом. То есть, рациональные числа, имеющие знаменатель 1, образуют подкольцо в поле рациональных чисел. И это подкольцо, как мы уже знаем, изоморфно кольцу целых чисел. — Итак, дроби образуют кольцо, а факторизованные из них рациональные числа — поле. Вот поэтому дроби не считаются числами. В математике нет термина «дробные числа» — только «рациональные числа». Мистер Крам? — Мы сделали рациональные числа полем. Зачем? — Поле — это структура, замкнутая относительно решения линейных уравнений. То есть, если есть система линейных уравнений с коэффициентами из какого-то поля, и она имеет решения, то эти решения тоже лежат в этом поле. Это благодаря делению. Всё, что называют линейной алгеброй, можно построить над произвольным полем. А тут уже прямые выходы в геометрию: векторы, аффинная геометрия и многое другое. Это очень большой кусок теории, и к тому же с широкими практическими применениями. Есть из-за чего стараться. — Вы видите, что для полной ясности с дробями надо привлекать высшую алгебру. Можно ли учить высшую алгебру в школе? Пока не стоит. Маглы попробовали. Начали во Франции, потом эта мода пошла в другие страны. Во Франции любую теорему или сложное определение вроде изоморфизма школьники выпаливают не задумываясь. Зазубрили. А конкретный пример решить без калькулятора не могут. Мало того, если они ошибаются, например, нажав не ту клавишу, они не замечают, что результат неверный. У них нет предварительной оценки результата и нет критериев проверки. Взамен есть убеждение, что калькулятор не ошибается. Самое страшное, что такой деятель может принять решение на основе неверного расчёта, а там всё может быть, вплоть до человеческих жертв. — В России, где тоже в своё время заменили учебники на более абстрактные, тоже отмечают падение уровня знаний математики. Это не по официальным данным, по ним как раз всё прекрасно, а по спросу на услуги репетиторов. Если в школе учат правильно, репетиторы почти не нужны! А несколько других стран, наоборот, перевели для себя старые русские учебники и очень рады этому. В преподавании математики нужен баланс между абстрактным и конкретным, и пока его не нашли. — У магов есть одно преимущество. Нас мало, и поэтому наше обучение больше похоже на индивидуальное. У нас не бегают такие толпы, как в магловских школах, и каждому ученику можно уделить больше внимания. — Вопросы? Слишком много информации, трудно переварить? Понимаю. Но уверяю вас: когда всё это уляжется в голове, вы уже не будете путаться с дробями. [Своей внучке автор рассказал это в 13 лет. Реально помогло. Подловил я её обещанием «будешь знать, как это понимают крутые профессионалы». В итоге всё равно пришлось уходить в другую школу, в частности, из-за математики.] — Доска и маркеры передаются Хогвартсу в класс нумерологии. Вот заготовленный заранее текст моего выступления, я его отдаю профессору Вектор. Старосты пусть позаботятся о копиях. Я, конечно, учитывал реакцию слушателей и отклонялся от текста. Я скопирую память для думосбора, флакон будет у профессора Вектор. Просмотр опять же организуйте через старост. Занятие окончено!