Сказка про Ивана Ященко да про Зверя Параметра Неуловимого

В некотором царстве, в российском государстве, жил-был добрый молодец по имени Иван Ященко. Не богатырь он был, не воин, а мудрец математический. Цифры да формулы ему покорялись, как птицы небесные. И было у него дело важное – стеречь ворота в царство Высшей Мудрости, что звались ЕГЭ по Математике. Шли к воротам тем ученики-удальцы со всей земли русской. Одни шли легко, другие бились-бились, да не могли пройти. И шептались меж собой: «Ах, зверь страшный там засел, Параметр зовется! Самый хитрый, самый сложный! Никто его не одолеет!» Дошли слухи те до Ивана. Задумался он: «Неужто правда есть Параметр такой, что всех пугает? Надо его сыскать, изучить, да ученикам помочь!» Взял он мешок заветный, где лежали формулы золотые да теоремы самоцветные, посох-калькулятор в руки и отправился в путь-дорогу искать самого сложного Параметра.

Первое испытание: Болото ОДЗ

Шел Иван три дня и три ночи, и пришел на трясину зыбучую. Туман над ней стелился, корни из грязи торчали, как змеи. А на кочке сидит старичок-Лесовичок, весь в паутине неравенств. Говорит Лесовичок голосом скрипучим: «Куда путь держишь, Иван?» «Ищу Параметра самого сложного, батюшка. Слыхал, он где-то здесь бродит». «Эх, молодец! – вздохнул Лесовичок. – Чтобы пройти мое болото ОДЗ (Область Допустимых Значений зовется), надо найти, где корни не тонут! Где знаменатель в ноль не обращается, где логарифм от минуса не берется! Параметр тут как тень скользит, подменяет пути. Один неверный шаг – и увязнешь!» Стал Иван думать. Достал из мешка формулу-ключ, стал проверять каждую кочку, каждую тропинку. Где параметр `a` пытался знаменатель в ноль обратить – Иван остерегался. Где под корнем `b` минус прятался – Иван тот путь отметал. Долго ли, коротко ли, нашел он тропу твердую через болото. А Параметр так и не явился, только хихиканье его в тумане слышалось. «Хитрый!» – подумал Иван.

Второе испытание: Гора Систем

Вышел Иван на крутую каменную гору. Стоят на склоне камни-уравнения огромные, друг на друге лежат, переплетаются корнями и степенями. А на вершине сидит Девица-График, стройная, как прямая, но глаза печальные. «Что грустишь, красавица?» – спрашивает Иван. «Ох, Иван! – отвечает она. – Не могу я разобраться в этой горе Систем! Параметры `c` да `d` тут как ветер переменчивый: дунут в одну сторону – камни складываются в одну картину, дунет в другую – все рушится, иная картина выходит! Сколько решений? Никак не сосчитать!» Взялся Иван за дело. Посохом своим (калькулятором то есть) стал точки пересечения искать. Где параметр `c` мал – камни лежали далеко друг от друга, решений мало. Где `c` рос – камни сближались, решения множились. А где `d` особый был – так и вовсе камни сливались в одно! Стал Иван рисовать на пергаменте схемы, области отмечать, где сколько решений живет. Разобрал всю гору по камешку! Девица-График просияла. Но самого Параметра Иван и тут не увидел – только почувствовал, как он невидимо дергал за ниточки, меняя `c` и `d`.

Третье испытание: Лабиринт Функций

За горой раскинулся Лабиринт Функций. Стены из кривых – то параболы, то гиперболы, то синусоиды вьются, как змеи. И стоит на входе старец мудрый, Сечение Плоскостью зовется. Говорит: «Осторожно, Иван! Здесь Параметр `k` – настоящий оборотень. Он может функцию сделать и возрастающей, и убывающей, и экстремумы ей навести! Ищи точку, где производная в ноль обращается, но помни – `k` меняет все!» Вошел Иван в лабиринт. Темнота, только графики слабо светятся. Шаг влево – функция растет (`f'(x) > 0`), шаг вправо – падает (`f'(x) < 0`). А Параметр `k` невидимо крутил ручки: то наклонит прямую (`k` в линейной функции), то вершину параболы сдвинет (`k` в квадратном трехчлене). Искал Иван точки перелома, где производная ноль равна (`f'(x) = 0`), но уравнение с `k` каждый раз новое! Пришлось разбить лабиринт на области: где `k` меньше нуля, где больше, где равно критическому значению. Мозг кипел, как самовар! Но нашел Иван все тропы, все повороты. Вышел он из лабиринта усталый, но довольный. И снова – лишь шелест Параметра `k` в листве формул.

Встреча с Мудрецом

Сидит Иван у последнего ручья перед домом, грустит: «Искал-искал самого сложного Параметра, а встретил лишь тени его да следы! Неуловимый он зверь!» Вдруг видит – идет седой Мудрец, весь в папирусах исписанных. Узнал Иван – это сам Дух Математики. «Что печалишься, Иван?» – спрашивает Мудрец. «Да вот, батюшка, искал Параметра самого сложного, чтобы ученикам помочь его одолеть. А он то в болоте прячется, то на горе шалунничает, то в лабиринте путает! Не поймать его!» Усмехнулся Мудрец: «А ты и не поймаешь его, Иван! Ибо нет Параметра *самого* сложного!» «Как так?!» – изумился Иван. «Да так! – сказал Мудрец. – Параметр – он как вода. В руках умелого – послушный инструмент, построит что угодно. В руках неумелого – потоп устроит. Сложность его не в нем самом, а в глазах смотрящего! Для одного страшна ОДЗ с параметром, для другого – системы коварные, для третьего – производные с ним голову ломают. Ты прошел все испытания, значит, познал *все* его лики!» Осенило Ивана! Достал он свой мешок и начал записывать все, что узнал: про ОДЗ и знаменатели, про системы и количество решений, про функции и экстремумы, про области значений `k`, `a`, `b`, `c`, `d`. Собрал он не одного зверя, а целый *зоопарк* Параметров, каждый со своей хитростью.

Возвращение

Вернулся Иван Ященко к своим воротам ЕГЭ. Стал ученикам рассказывать про свои приключения, про Болото ОДЗ, про Гору Систем, про Лабиринт Функций. Стал показывать свои записи – как искать области, где Параметр ведет себя по-разному, как разбивать задачу на случаи, как проверять границы. И поняли ученики: чтобы одолеть Зверя Параметра, не надо искать *самого* страшного. Надо понять его *природу*, научиться видеть его следы в любом обличье, разбивать его хитрости на кусочки и терпеливо разбирать каждый случай. А Иван Ященко составил да разослал по всем школам царства свои «Записки Охотника за Параметрами», чтобы каждый смелый ученик мог подготовиться встретить любого Параметра во всеоружии математической мудрости. И хоть Параметр так и остался Неуловимым, перестал он быть Непобедимым. А Иван Ященко стережет ворота и поныне, помогая смельчакам найти свой путь сквозь дебри математических задач.