Начнём, пожалуй с азов.
В тексте будут встречаться формулы. Я их буду записывать в строку. возведение в степень буду обозначать знаком ^; взятие квадратного корня - функцией sqrt(); знак умножения в большинстве случаев буду опускать, как это принято в математике, но в некоторых местах для улучшения читаемости формулы буду явно писать знак *. Большие числа буду писать в формате 1.2345E+24, что означает 1.2345*10^24. Сила Земного притяжения всюду направлена к центру Земли и является, таким образом, центральной силой. Важным параметром земного тяготения, который нам будет встречаться очень часто, является гравитационный параметр Земли. Или, если точнее - гравитационный параметр центрального тела. Он обозначается буквой μ ("мю") и рассчитывается по формуле: μ = γM; где: γ — гравитационная постоянная, M — масса центрального тела (в нашем случае - Земли). μ[Земли] = 3.98576e+14 [м^3/с^2]. Через "мю" можно рассчитать ускорение свободного падения на разных высотах: g = μ/R^2; где: μ - гравитационный параметр планеты, R - расстояния от центра тяготения (в нашем случае - центра планеты). Как известно, на поверхности Земли оно равно примерно 9.81 м/с^2. На больших высотах ускорение свободного падения, как следует из формулы, меньше, в недрах Земли - теоретически была бы выше, но на самом деле внутри шара силу его притяжения уже нельзя считать центральной. А ещё через гравитационный параметр можно рассчитать две важные скорости: круговую и параболическую. Круговая скорость - эта такая скорость, которая нужна, чтобы двигаться вокруг планеты по кругу. А параболическая скорость - это такая скорость, которая нужна, чтобы орбита разомкнулась и стала параболой - т.е. чтобы улететь с планеты. Круговая скорость считается так: v_кр = sqrt(μ/R); а параболическая: v_пар = sqrt(2μ/R). Обратите внимание, что параболическая скорость на каждой высоте в sqrt(2) раза больше круговой. Круговая скорость на поверхности Земли называется Первой космической и равна примерно 7910 м/с. Но на самом деле интерес представляет не скорость, а формула, по которой она рассчитывается. Потому что, скажем, на высоте 400 км круговая скорость уже будет равна примерно 7700 м/с, а при радиусе 42000 км — 3080 м/с. Параболическая скорость на поверхности Земли называется Второй космической и равна примерно 11200 м/с. Эта скорость, если бы не мешала атмосфера, позволила бы покинуть сферу действия Земли.Форма орбиты
На этом пока скорости считать перестанем, разберёмся, какие ещё бывают орбиты. Для простоты будем в этом разделе говорить о геоцентрических орбитах. Кеплер некогда открыл, что все планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Из закона Всемирного тяготения можно вывести, что тело небольшой массы в поле силы тяжести одного массивного тела может двигаться только по одному из конических сечений: кругу, эллипсу, параболе или гиперболе — причём такому, чтобы тяготеющее тело находилось в фокусе. У каждой орбиты, кроме круговой, есть точка, ближайшая к центру тяготения, её называют перицентр, в литературе также встречаются специальные названия перицентра геоцентрической орбиты - перигей - и перицентра гелиоцентрической орбиты - перигелий. В этой части статьи я буду говорить о Земле и орбитах вокруг неё, а потому буду использовать слово перигей везде, за исключением тех случаев, где "перицентр" является частью устоявшегося выражения. Для простоты: в этой части статьи под перицентром всегда будет пониматься перигей. Важными параметрами конических сечений (и, соответственно, орбит) являются эксцентриситет, фокальный параметр и перицентральное расстояние. Они связаны между собой формулой: r0 = p/(1+ε); где: r0 — перицентральное расстояние (т.е. расстояние от центра Земли до перицентра), p — фокальный параметр (затрудняюсь объяснить что это без чертежа), ε — эксцентриситет, т.е. то, как сильно орбита отличается от круга: для круга ε=0; для эллипса 0<ε<1; для параболы ε=1; для гиперболы ε>1. Все свойства орбиты можно определить через любые два из этих трёх параметров. Обычно используют p и ε, но я для простоты изложения буду использовать r0 и ε. С круговой орбитой всё просто: скорость всё время постоянна, равна круговой и направлена перпендикулярно силе тяжести. Эллиптическая орбита — посложнее. Скорость тела, движущегося по эллипсу непрерывно меняется. Чем ближе тело к центру Земли (перигею) тем выше его скорость, чем дальше — тем ниже. У эллиптической орбиты есть наивысшая точка — апогей (апоцентр) и наинизшая — перигей (перицентр). Радиусы апогея и перигея связаны с большой полуосью орбиты простой формулой: r_a + r0 = 2a; где: r_a и r0 — апогей и перигей, измеряемые от центра Земли, a — большая полуось орбиты. Кроме того, большая полуось связана с апогеем и перигеем формулами: a(1-ε) = r0, a(1+ε) = r_a. Значение скорости в точках эллиптической орбиты вычисляется по формуле v = sqrt(μ*(2/r — 1/a)); где: μ — гравитационный параметр Земли, a — большая полуось орбиты, r — расстояние тела от центра Земли. Эту же формулу можно записать так: v = sqrt(μ*(2/r — (1-ε)/r0)). В таком виде она годится не только для эллипса, но и для параболы и гиперболы. Оценим скорости в некоторых точках орбиты: при r = a v = sqrt(μ/r) — т.е. скорость равна местной круговой, но направлена не перпендикулярно силе тяжести, т.к. орбита эллиптическая, а не круговая. при r < a — скорость больше местной круговой и становится наибольшей в перигее: v = sqrt(μ*(1+ε)/r0) — видно, что она тем больше, чем больше ε и достигает параболической при ε=1. при r > a — скорость меньше местной круговой и становится наименьшей в апогее: v = sqrt(μ*(1-ε^2)/(r0*(1+ε))) — она тем меньше, чем больше ε, а при ε=1 — обращается в 0, что не удивительно, т.к. при таком эксцентриситете орбита размыкается и превращается в параболу. Параболическая орбита — опять-таки проще. Во всех её точках скорость по модулю равна местной параболической, но направлена различно. Если скорость тела больше местной параболической — то оно движется по гиперболе. Скорости в разных точках гиперболической орбиты рассчитываются по формуле v = sqrt(μ*(2/r — (1-ε)/r0)). В литературе её можно встретить в виде: v = sqrt(μ*(2/r + 1/a)); где a — расстояние от перицентра до точки пересечения асимптот. Я счёл такой вид слишком умозрительным для чайников. Оценим скорости: Так как ε>1 — то (1-ε)/r0<0, следовательно скорость в любой точке траектории больше местной параболической. Из вышесказанного можно сделать следующие выводы: Форма орбиты тела, летящего в околоземном пространстве определяется значением и направлением сообщённой ему скорости, а также зависит от расстояния до центра Земли в момент сообщения скорости: * Если сообщена скорость большая или равная местной параболической - то тело будет двигаться по дуге гиперболы или параболы. * Если сообщена скорость меньшая, чем местная параболическая - то тело будет двигаться по эллипсу (или дуге эллипса, если орбита пересекает земную поверхность), а в том случае если скорость равна местной круговой и направлена перпендикулярно силе тяжести, то по частному случаю эллипса - окружности. * Если скорость равна нулю или направлена вертикально вверх или вниз, то траектория будет прямой, при этом, закон изменения скорости может быть эллиптическим, параболическим или гиперболическим - в зависимости от значения скорости. Эти вырожденные случаи не так интересны, но мы будем иногда их касаться. Зная расстояние тела от центра Земли в некоторый момент времени, а также значение и направление его скорости в этот момент, можно определить, по какой орбите движется тело: Рассуждаем аналогично предыдущему пункту: если скорость больше или равна местной параболической, значит орбита гиперболическая или параболическая; если меньше - то скорее всего эллиптическая, а в частном случае - скорость равна круговой и перпендикулярна силе тяжести - круговая.