Где кончается "земля"?
В первой части, когда говорили о скоростях, мы выяснили, что чтобы геоцентрическая орбита разомкнулась, нужно в некоторой точке набрать скорость не меньше местной параболической, при этом уже почти не важно, в каком направлении: если наша траектория не направлена прямо в планету, то она так или иначе выведет нас за пределы зоны её действия. Но в какой момент мы можем считать, что Земля осталась позади, а наша орбита стала гелиоцентрической? По мере удаления от Земли, притяжение Земли уменьшается, а притяжение Солнца увеличивается. Сначала мы можем считать нашу орбиту как геоцентрическую, а влияние Солнца учитывать как возмущение, вдалеке от Земли мы должны будем считать орбиту гелиоцентрической, т.к. влияние Земли совершенно незаметно, а где-то посередине - наш аппарат летит под влиянием двух тяготеющих тел. Последний случай точного аналитического решения не имеет, но к нашему счастью, для случая, когда одно из тяготеющих тел сильно меньше другого - например это Земля и Солнце - есть хорошие приближенные решения. В частности можно считать, что переход с геоцентрической орбиты на гелиоцентрическую происходит мгновенно - такой подход называется методом сопряжённых конических сечений. Различия такой сопряжённой траектори с реальной - больше велики в окрестностях точки сопряжения - там, где мы "переключаемся" с геоцентрической на гелиоцентрическую траекторию, и совсем невелики вдали от неё, при условии, что мы эту точку правильно выбрали. О том, как её выбрать, мнения специалистов разделились. Скажем, Бэттин Р. в своей книге "Наведение в космосе" (1966), исходя из соотношения сил притяжения выводит формулу радиуса сферы действия: r = a(m/M)^(2/5); где: r - радиус сферы действия малого тела, относительно большого, a - расстояние между телами, m и M - массы соответственно малого и большого тел. Единственный смысл сферы действия - в том что если при методе сопряжённых конических сечений геоцентрическую и гелиоцентрическую траектории сопрягать именно на этой границе, то ошибка расчётной траектории относительно реальной будет наименьшей. Никакого другого смысла она не имеет. Сфера действия на самом деле не совсем сфера - она слегка сплюснута со стороны большего тела, но не настолько, чтобы этим нельзя было пренебречь. В работе http://www.zvezdar.net/index/uproshhennaja_postanovka_zadachi_trekh_tel/0-15 рассчитывают сферу влияния r = 1,19a(m/M)^(1/3); и, ссылаясь на книгу "Сферы влияния больших планет и Луны", Кислик М.Д. (1964), дают формулу: r = 1,15a(m/M)^(1/3); - эти две формулы почти тождественны, в обеих: r - радиус сферы влияния малого тела, относительно большого, a - расстояние между телами, m и M - массы соответственно малого и большого тел. Сфера влияния - вообще говоря, совсем не сфера, а что-то вроде линзы, но в приближенных расчётах, говорят, что можно пользоваться её средним радиусом. Тут я не могу с уверенностью писать, потому что не смог найти книгу Кислика, на которую все ссылаются. Возможно, я её когда-нибудь найду и смогу улучшить эту часть своей статьи. Сфера влияния, как и сфера действия - служит условной границей, которую мы можем использовать для сопряжения гео- и гелиоцентрических участков траектории. Какую из этих сфер и в каком случае принимать за "границу" - В.И. Левантовский в книге "Механика космического полёта в элементарном изложении" (1980) не объясняет, говорит то об одной, то о другой. Д.Е. Охоцимский в книге "Основы механики космического полёта" - предпочитает сферу действия, хотя указывают, что есть альтернативный вариант и ссылается на Кислика. По общим соображениям можно предположить, что если мы летим с большой тягой, т.е. с помощью импульсных манёвров, и всю потребную для покидания Земли скорость набрали глубоко в зоне её действия, то мы можем выбирать точку сопряжения достаточно произвольно - Левантовский пишет, что ошибка приближения при использовании как сферы действия так и сферы влияния, не больше, чем технические погрешности двигателей и системы ориентации, и поэтому не влияют на предварительный расчёт. С другой стороны, если мы удаляемся от Земли с помощью двигателей малой тяги (например, электроракетных) - наша скорость всё время относительно невелика, и мы можем выйти из сферы действия Земли, оставаясь при этом на явно геоцентрической траектории, в этом случае, очевидно, сферу действия за "границу" считать нельзя, и следует использовать сферу влияния (или даже более точно рассчитанную границу зоны влияния). Стоит упомянуть ещё одну сферу - сферу Хила. Это сфера, в которой спутник Земли может существовать неограниченно долго. Сфера Хилла тоже является сферой только в том случае, если одно из тел значительно меньше другого - например Земля и Солнце. Радиус сферы Хилла тела малой массы относительно тела с большой массой: r = a(m/3M)^(1/3); где: r - радиус сферы Хилла, a - расстояние между телами, m и M - массы соответственно малого и большого тел. Для случаев, когда m/M < 1/243 (что справедливо для любой из планет Солнечной системы), сфера действия меньше, чем сфера Хилла. Причём, для большинства планет - много меньше. Например, Луна - находится за пределами сферы действия Земли, но в пределах сферы Хилла.Какая гелиоцентрическая скорость у нас получится после покидания Земли?
Как мы знаем из первой части, по мере удаления от Земли наша геоцентрическая скорость уменьшается. Зная скорость, с которой мы стартовали, и радиус исходно орбиты, мы можем рассчитать свою скорость на радиусе сферы действия: V_вых = sqrt(V0^2 - V_пар^2*(1-R0/r)); где: V_вых - скорость выхода из сферы действия Земли, V0 - скорость, после выключения двигателя, R0 - высота выключения двигателя, V_пар - параболическая скорость на высоте R0, r - радиус сферы действия. Эта же формула годится и для сферы влияния (средней), если использовать её радиус в качестве r. При импульсных манёврах, отлёт выгодно производить с низкой околоземной орбиты, R0 много меньше r (особенно, если использовать сферу влияния). Поэтому можно применить приближенную формулу V_вых = sqrt(V0^2 - V_пар^2). Эта формула даёт заниженное значение скорости выхода, в то время как другое наше допущение - что после выхода аппарата из сферы действия Земли, Земля перестаёт на него влиять - завышает расчётную скорость выхода. Таким образом два этих допущения вместе дают меньшую ошибку, чем по отдельности. Причём, если мы используем сферу влияния - ошибка ещё меньше.Считаем скорости дальше
А что если мы хотим улететь от Солнца в межзвёздное пространство? Для этого, очевидно, нам надо набрать по крайней мере параболическую скорость, но уже не относительно Земли, а относительно Солнца. Гравитационный параметр Солнца равен μ[Солнца] = 1.327474512e+20 [м^3/с^2]. Радиус орбиты Земли примем равным 1 астрономической единица, т.е. R = 1.495981e+11 м. Тогда скорость покидания Солнца при старте с орбиты Земли (по формуле параболической скорости: V_пар[Солнца] = sqrt(2μ/R) = 42127 [м/с]. (я не округляю значения, потому что они нам нужны как промежуточные, хотя их реальная точность - примерно три значимых цифры). Часть этой скорости нам бесплатно предоставляет Земли, движущаяся со скоростью V_кр = sqrt(μ/R) = 29788 [м/с]. Значит сферу действия Земли мы должны покинуть со скоростью: V_вых = V_пар[Солнца] - V_кр = 12339 [м/с]. Через скорость выхода мы можем рассчитать скорость старта с Земли: V0 = sqrt(V_вых^2 + V_пар[Земли]^2). V_пар[Земли] ≈ 11200 [м/с]; тогда V0 ≈ 16600 м/с. Эту скорость называют третьей космической, но здесь нет единства мнений: некоторые авторы называют третьей космической V_пар[Солнца]. Но что интересно: упасть на Солнце труднее, чем улететь в межзвёздное пространство. Для этого нам пришлось бы погасить ту скорость, которую нам сообщила Земля, т.е. V_вых = 29788 [м/с], и тогда V0 ≈ 31800 [м/с]. У эту скорость некоторые авторы называют четвёртой космической, хотя не все согласны даже её выделять. Некоторые маргиналы называют ещё пятую космическую скорость - скорость, необходимую для поворота плоскости гелиоцентрической орбиты аппарата на 90° относительно плоскости орбиты Земли. Её считать, пожалуй, не будем. В конце концов, "космические скорости с номерами" годятся только для сравнительной оценки той или иной скорости, а для расчёта из всех скоростей нам пригодилась только вторая и только для расчёта скорости выхода из сферы действия Земли при старте с её поверхности (чего никогда не делают).