Начала астродинамики, для неспециалиста

      Предположим, что нам нужно сблизиться с другим космическим аппаратом, летящим по круговой орбите радиусом R. Наша ракета-носитель вывела нас на круговую орбиту, лежащую в той же плоскости, что и наша цель, но с меньшим радиусом R1 < R. Какой манёвр и в какое время мы должны выполнить, чтобы встретиться с целью?       Расчёт такого манёвра заключается в расчёте параметров переходной орбиты и угла между нашим положением и положением цели в момент старта.       Промежуточная орбита - должна быть такая, которая обеспечивает переход с нашей орбиты на орбиту цели. О таких орбитах мы уже говорили в разделе про импульсные манёвры. В нашем случае - манёвр компланарный, а потому для простоты выберем Гомановскую траекторию. Место первого импульса станет нашим перигеем, а в апогее - мы встретимся с целью.       Рассчитаем характеристическую скорость такого манёвра: Δv1 = sqrt(2μ(1/R1 - 1/(R+R1)) - sqrt(μ/R1); Δv2 = sqrt(μ/R) - sqrt(2μ(1/R - 1/(R+R1)).       Теперь рассчитаем время перелёта. Полёт по Гомановской траектории занимает половину периода обращения по соответствующему эллипсу.       Период обращения по эллипсу равен T = 2*π*a^(3/2)/sqrt(μ), значит t = π*a^(3/2)/sqrt(μ).       Большая полуось равна a = (r0 + r_a)/2, т.е. в нашем случае a = (R1+R)/2. Значит t = π*((R1+R)/2)^(3/2)/sqrt(μ).       Теперь, чтобы рассчитать, в какой момент мы должны начинать манёвр, нам нужно знать, какой угол пролетит наша цель за время нашего перелёта.       Период обращения цели T_ц = 2*π*R^(3/2)/sqrt(μ), за это время она проходит полный круг, значит её угловая скорость ω = 2*π/T_ц = sqrt(μ)/R^(3/2). За время нашего перелёта, цель пройдёт угол в радианах: Δϑ = ωt = π*a^(3/2)/R^(3/2). Переведём в градусы: Δϑ = 180*a^(3/2)/R^(3/2). На такой угол цель должна недолететь до нашего апогея в момент нашего старта. Сами мы в этот момент будем находиться в перигее - т.е. в 180° от апогея.       Т.к. a<R, следовательно Δϑ < 180°, иными словами - в момент старта мы должны отставать от цели на некоторый угол Ψ: Ψ = Δϑ - 180°; или то же в радианах: Ψ = Δϑ - 2*π; этот угол отрицательный, потому что мы отстаём.       Если бы R1 была больше R - ход рассуждений был бы полностью тем же, но в результате получился бы положительный угол Ψ - т.е. мы должны были бы опережать цель.       Относительного положения Ψ нужно ждать. Время ожидания зависит от периодов обращения цели, нашего корабля, и исходного угла Ψ. Пусть у нас сейчас есть Ψ=Ψ1, а нужно чтобы стало Ψ=Ψ2. При этом периоды обращения цели и нашего корабля - T_ц и T1 соответственно. Тогда угловые скорости равны: ω = 2*π/T_ц; ω1 = 2*π/T1. Через некоторое время Δt, наш корабль пройдёт Δϑ1 = 2*π*Δt/T1, а цель Δϑ=2*π*Δt/T_ц,       Это значит, что угол Ψ составит Ψ = Ψ1 + Δϑ1 - Δϑ; иными словами ΔΨ = Δϑ1 - Δϑ; тогда ΔΨ/Δt = 2*π(1/T1 - 1/T_ц).       Теперь мы можем рассчитать время ожидания. Делим разность Ψ2 и Ψ1 на скорость изменения Ψ: t = (Ψ2-Ψ1)/(2*π *(1/T1 - 1/T_ц)). Если периоды обращения нашего корабля и цели отличаются в два и более раз - ждать меньше витка. Если же периоды примерно одинаковые - ожидание будет очень долгим, если мы не примем меры.

Фазирование орбиты.

      Классическим способом быстрее изменить угол Ψ является манёвр фазирования. Это делается двумя импульсами: переходом на так называемый фазирующий эллипс и, через виток, переходом на исходную орбиту.       Если угол, на который нас опережает цель, слишком большой, и мы хотим его уменьшить, то фазирующий эллипс должен быть меньше нашей орбиты - т.е. для перехода на него требуется торможение.       В рассказе "Путь к Земле "Кон-Тики"" был применён этот манёвр, чтобы догнать орбитальную станцию. Там было сказано: "Дистанция, выигрываемая за виток, примерно впятеро больше разности высот в перицентре". Попробуем это проверить.       Пусть мы с нашей орбиты R1, дав ретроградный импульс, переходим на фазирующий эллипс с перигеем r0. Большая полуось выходит a_ф = (R1+r0)/2; тогда период T_ф = 2*π*((R1+r0)/2)^(3/2)/sqrt(μ); а период обращения по исходной орбите T1 = 2*π*R1^(3/2)/sqrt(μ); что означает угловую скорость ω = sqrt(μ)/R1^(3/2).       Рассчитаем угол, который мы прошли бы за время T_ф, если бы остались на исходной орбите: Δϑ1 = ωt = 2*π*((R1+r0)/2)^(3/2)/sqrt(μ) * sqrt(μ)/R1^(3/2) = 2*π*((R1+r0)/(2*R1))^(3/2); а в действительности мы прошли 180°, т.е. 2*π. Т.е. выиграли угол ΔΨ = 2*π*(1 - ((R1+r0)/(2*R1))^(3/2)); мы догоняем цель, поэтому ΔΨ>0.       Этот угол соответствует выигранной дистанции: Δs = ΔΨ*R1 = 2*π*R1*(1 - ((R1+r0)/(2*R1))^(3/2)). Очевидно, что строгого отношения Δs/(R1-r0) мы не наблюдаем, тогда снова воспользуемся онлайн сервисом постройки графиков (честный математический анализ в статье "для чайников" - избыточен). Мы хотим узнать, чему равно Δs/(R1-r0) при разных отношениях R1/r0. Преобразуем нашу функцию для построения графика. Пусть R1 = n*r0, тогда: y=Δs/(R1-r0); y = 2*π*(n/(n-1))*(1 - ((n+1)/(2*n))^(3/2)); нам интересны только значения r0<R1, т.е. n<1: http://yotx.ru/#!1/3_h/sHjJ39rX0jhvC/tn@0f7B/sO8npdb2d8AhIHhjb3tjb3Nrdxe8sbW5sbEH3drd3tgB7@3urm9cbO/s7u4f7JNo2I2dU8bj6RbjcevyYnd/ax8D Обнаружил ошибку на сайте - неправильно расшифровывает пределы. Нужно установить вручную x от 0.5 до 1.       И действительно: при n стремящемся к 1, это отношение стремится примерно к 4.7, а в диапазоне 0.5<n<1, y = 5±0.3. Не бог весть какая точность, как и сказал Лунный Коршун: "Мои формулы очень простые, зато не очень точные".       Чтобы уменьшить угол Ψ, т.е. позволить цели догнать нас или уйти вперёд, нужно использовать фазирующий эллипс, который выше нашей орбиты. Дадим проградный импульс и перейдём на орбиту с апогеем r_a и перигеем R1. Её большая полуось a_ф = (R1+r_a)/2.       Период обращения рассчитывается точно так же (у нас везде сумма, которая, как известно, не зависит от порядка слагаемых): T_ф = 2*π*((R1+r_a)/2)^(3/2)/sqrt(μ); и Δϑ1 рассчитывается так же: Δϑ1 = ωt = 2*π*((R1+r_a)/(2*R1))^(3/2); но вот в чём дело: Δϑ1 в этом случае получается больше 2*π, иными словами ΔΨ = 2*π - Δϑ1 - получится отрицательным. Это логично, т.к. мы уменьшаем Ψ. ΔΨ = 2*π*(1 - ((R1+r_a)/(2*R1))^(3/2)).       Интересно, есть ли и для этого случая "очень простая, но не очень точная формула"? Попробуем её найти.       Мы проигрываем расстояние Δs = -ΔΨ*R1 = 2*π*R1*(((R1+r_a)/(2*R1))^(3/2) - 1). Я написал -ΔΨ, чтобы не работать с отрицательным расстоянием. Оно нам нужно по модулю.       Пусть r_a = n*R1; выразим функцию y=Δs/(r_a-R1): y = 2*π*R1/(n*R1-R1)*(((R1+n*R1)/(2*R1))^(3/2) - 1); y = 2*π*(1/(n-1))*(((1+n)/2)^(3/2) - 1). http://yotx.ru/#!1/3_h/tb@2f7Rgzhf23/aP9g/2DfT0qt7e@AQ0Dwxtb2xt7m1u4ueGNjYwu6t7u9s7u@cbG9s7u5tbt/sE@iYTd2ThmPp1uMx63Li939rX0B На графике мы снова видим числа, близкие к 5, в диапазоне 1<n<2.