Из пушки на Луну и не только.
Рассмотрим интересную тему: если бы у нас не было ракет, но была возможность бросать снаряд с Земли с любой нужной скоростью, какие бы возможности у нас были? Самая очевидная - возможность поразить любую точку Земли, если нашу пушку можно наводить по азимуту и возвышению. Если нашу пушку нельзя наводить, то у нас всё равно есть возможность послать снаряд в различные точки Земного шара благодаря вращению Земли, за счёт изменения начальной скорости. (Я честно попытался вывести формулы для оценки зоны обстрела вертикально установленной пушки в зависимости от широты, но они без векторов и учебника Суханова не выводятся ни в какую. С векторами - наверно, отдельной частью сделаю). А что если действительно на Луну? У Жюля Верна в романе "Путешествие на Луну" было предложено стрелять с таким расчётом, чтобы снаряд достиг нейтральной точки между Землёй и Луной в тот момент, когда Луна проходит свой перигей. Этот расчёт предполагает, что после достижения нейтральной точки, снаряд неизбежно упадёт на Луну, но это не так: во-первых, достижение нейтральной точки не гарантирует входа в сферу действия Луны, т.к. Луна движется и сферу её действия так же будет "убегать" в сторону (относительно траектории снаряда), во-вторых, после попадания в сферу действия Луны возможен облёт Луны с последующим выходом из сферы её действия. Подробнее об истории взглядов на полёт к Луне можно почитать на Хабре в статьях: https://habr.com/post/400013/ https://habr.com/post/400735/ Есть у Жюля Верна и более серьёзный просчёт: он считал траекторию снаряда без учёта скорости, сообщённой ему вращением Земли, из-за этого траектория получилась прямой. Воспользуемся известными данными и рассчитаем траекторию полёта с Земли на Луну из вертикально установленной пушки. По данным из Википедии, перигей Луны - 356400...370400 км - мы, пожалуй, возьмём верхнюю оценку. На этой высоте будет апогей траектории нашего снаряда. Кроме апогея мы знаем ещё одну точку орбиты - место старта. У Жюля Верна оно располагалось во Флориде, в городе Тампа (27°58′15″ с.ш. 82°27′53″ з.д.). На этой широте радиус Земли равен 6373 км, а линейная скорость земной поверхности - 410.4 м/с (расчёт я опустил, чтобы не загромождать статью). Поскольку стреляем мы вертикально вверх, горизонтальная, или, более строго, трансверсальная (перпендикулярная радиусу) составляющая скорости у нас в момент выстрела не меняется. Значит мы знаем трансверсальную составляющую стартовой скорости - V_τ. Кроме того, мы знаем радиус апогея r_a, и радиус начальной точки R. Расчёт я упростил как мог, проще уже некуда, извините. Ну, поехали: Воспользуемся уравнением конического сечения в полярных координатах, r = p/(1+ε*cosϑ), формулой трансверсальной скорости V_τ = sqrt(μ/p)*(1+ε*cosϑ), и связью между апогеем, параметром и эксцентриситетом r_a = p/(1-ε). В этих формулах у нас три неизвестных p, ε и ϑ. Решая систему, я нашёл выражение: ε = 1 - (V_τ*r)^2/(μ*r_a); У нас есть точка, в которой мы знаем V_τ и r - это точка старта, значит можно рассчитать ε. ε = 1 - (410.4 * 6.373E+6)^2/(3.98576e+14 * 3.704E+9) ≈ 0.999995 - это очень близко к 1, т.е. орбита получается почти параболическая. При расчёте таких орбит могут быть большие вычислительные ошибки, но нам придётся с этим мириться, т.к. наш расчёт - не для настоящего пуска, а более подходящие для таких орбит численные методы - за пределами данной статьи (интересующимся рекомендую всё того же Суханова). Теперь мы можем рассчитать оставшиеся неизвестные: p = r_a*(1-ε) = 3.704E+9 * (1-0.999995) ≈ 18520 [м] Из уравнения конического сечения получим: cosϑ = (p/R - 1)/ε. Считаем: cosϑ = (18520/6.373E+6 - 1)/0.999995 ≈ -0.9970 - т.е. ϑ ≈ 175,56° 175,56° от перигея - это то же самое, что -4,44° до апогея, а в апогее у нас должна быть Луна, иными словами, выстрел нужно произвести с таким расчётом, чтобы в момент достижения снарядом лунной орбиты, Луна была не в зените места старта, а не доходила до него 4,44°. Или, если строже, не Луна, а перигей Луны, а Луна - должна быть в перигее. Чтобы лучше представить себе, что у нас получилась за орбита, рассчитаем перигей. r0 = p/(1+ε) = 18520/(0.999995 + 1) ≈ 9260 [м]. Рассчётный (настоящего перигея у нас нет) перигей находится практически в центре Земли. Теперь посчитаем начальную скорость выстрела, она равна радиальной составляющей скорости, следовательно рассчитывается по формуле: V_n = sqrt(μ/p)*ε*sinϑ. Считаем: V_n = sqrt(3.98576e+14/18520)* 0.999995 * 0.0774 ≈ 11355 [м/c] !!! Получилось значение больше Второй космической скорости, что очевидный бред, т.к. мы считали эллипс. Это произошло потому, что у меня накопилась ошибка округления. Чтобы посчитать точнее, я написал скрипт с этими же самыми формулами и выполнил его в консоли браузера. Получилось V_n = 11176.5 [м/c]. Почему компьютер посчитал точнее чем я? В первую очередь - потому что он округлял промежуточные результаты не так сильно, как я; в меньшей степени - потому что он не преобразовывал промежуточные результаты в десятичную систему, т.е. не получал дополнительную ошибку округления при каждом преобразовании. Полная начальная скорость снаряда составила V = sqrt(V_n^2 + V_τ^2) = 11184 [м/c]. - почти равна параболической. Скорее всего, точности вычислений всё равно не хватило, чтобы правильно рассчитать эллипс, но по результатам расчётов мы всё же смогли оценить на что он похож.А можно ли из пушки запустить снаряд на орбиту?
С учётом сказанного в начале - нет. Любая замкнутая орбита предполагает, что тело снова пройдёт через точку, в которой оно начало двигаться по этой орбите. В случае, если орбита начинается на поверхности Земли - даже один виток сделать невозможно: Земля мешает. Разомкнутая же орбита (гиперболическая) - уведёт снаряд за пределы сферы действия Земли. Другое дело - если снаряд имеет собственный двигатель. Тогда, достигнув апогея, он сможет дать апогейный импульс и поднять свой перигей, чтобы новая орбита не пересекала земную поверхность и не входила в атмосферу. Можно ли для подъёма перигея воспользоваться притяжением Луны? Это мы посчитаем в главе про гравитационные манёвры.Как же на орбите оказалась сама Луна?
По основной современной гипотезе, Луна образовалась в следствие столкновения Протоземли с гипотетической планетой Тейя, в результате столкновения часть обломков была выброшена в космос. Но, как мы уже знаем, обломок, брошенный с Земли, должен либо улететь за пределы сферы её влияния, либо не сделав и витка снова упасть на Землю. В чём же дело? Уж не ошиблись ли авторы гипотезы? А дело вот в чём: гипотетическая Тейя должна была быть значительных размеров - сравнимых с Марсом, а столкновение, согласно гипотезе, происходило по касательной. Тела, образовавшиеся в результате разрушения Тейи, изначально находились на разных высотах, причём большая их часть - за пределами атмосферы Протоземли. Если они получили на этой высоте круговую скорость и стали двигаться по орбите, тормозящего действия атмосферы они не испытывали, и столкнуться через виток им было уже не с чем - т.к. Тейя разрушилась ещё в начале витка. Вполне логичен следующий вопрос: уцелевшие обломки Тейи находились на орбитах высотой (над поверхностью Земли) допустим от 400 км (чтобы не влияла атмосфера) до 6000 км (примерный диаметр Тейи), или по крайней мере на таких высотах должны были находиться их перигеи. Как же тогда образовавшаяся из них Луна забралась на орбиту высотой 380 тыс. км (от центра Земли)? Об этом мы поговорим в главе про полёты с малой тягой.