Начала астродинамики, для неспециалиста

      Для маневрирования в космическом пространстве нужен двигатель. Мы будем говорить в основном о манёврах с помощью ракетных двигателей. Поэтому нам понадобится некоторое понимание того, что такое ракета.       Основное уравнение движения ракеты - формула Циолковского: V = I*ln(M0/M1); где I - удельный импульс, M0 - полная масса ракеты до включения двигателя, M1 - полная масса ракеты после выключения двигателя, V - идеальная скорость ракеты после выработки (M0-M1) топлива.       Идеальная скорость ракеты - это такая скорость, которую ракета набрала бы в идеальных условиях: в безвоздушном пространстве, при отсутствии внешних сил, разгоняясь всё время по прямой.       Удельный импульс - это величина, имеющая размерность скорости и примерно равная скорости истечения газов из ракетного двигателя. Сам Циолковский указывал в своей формуле скорость истечения, а не удельный импульс, но это справедливо только для идеального двигателя. А удельный импульс реального двигателя всегда немного меньше скорости истечения.       Удельный импульс в подавляющем большинстве химических ракетных двигателей является постоянной величиной. Поэтому мы будем полагать, что во время полёта удельный импульс одного и того же двигателя не меняется.       Из формулы Циолковского можно сделать два вывода, которые потребуются нам в дальнейшем:       1. Один и тот же космический аппарат, выполняя два одинаковых манёвра без дозаправки между ними, потратит на них разное количество топлива. Докажем это.       Пусть аппарат имел массу M0 и набрал скорость V, значит после манёвра его масса стала равна M1 = M0/e^(V/I), а масса затраченного топлива m1 = M0-M1 = M0(1 - 1/e^(V/I)).       Через некоторое время ему снова потребовалось изменить свою скорость на V, в это время он имел массу M2 ≤ M1, значит после манёвра его масса M3 = M2/e^(V/I), а масса затраченного топлива m2 = M3-M2 = M2(1 - 1/e^(V/I)).       Сравним m1 и m2: Формулы m1 и m2 имеют общий множитель (1 - 1/e^(V/I)), определим его знак. Если V>0, то e^(V/I) > 1. Следовательно 1/e^(V/I) < 1, а (1 - 1/e^(V/I)) > 0. Значит сокращение на этот множитель не изменит знака неравенства, таким образом m1 и m2 связаны тем же отношением, как M0 и M2.       Нам известно, что M2 ≤ M1, а M1 = M0/e^(V/I). Если V>0, то e^(V/I) > 1, а значит M1 < M0.       Из M2 ≤ M1 и M1 < M0 следует, что M0 > M2. А так как m1 и m2 связаны тем же отношением, то m1 > m2. Доказано.       2. Если запаса топлива достаточно для набора некоторой идеальной скорости V, то после набора некоторой скорости V1<V у нас останется столько топлива, сколько необходимо для набора скорости равной V-V1. Докажем это.       Пусть аппарат с начальной массой M0 имеет запас топлива для разгона до скорости V. Это значит, что после израсходования всего топлива, его масса составит M_min = M0/e^(V/I), а запас топлива на борту равен m_max = M0 - M_min.       Аппарат разогнался до скорости V1, значит его новая масса M1 = M0/e^(V1/I), топлива израсходовано m1 = M0 - M1, а остаток топлива равен m_max - m1.       Рассчитаем какой идеальной скорости соответствует этот остаток топлива: V2 = I*ln(M1/M_min); подставляем выражения для масс: V2 = I*ln((M0/e^(V1/I))/(M0/e^(V/I))); приводим дробь в порядок: V2 = I*ln((M0*e^(V/I))/(M0*e^(V1/I))); сокращаем общий множитель: V2 = I*ln((e^(V/I))/(e^(V1/I))); делим степени с общим основанием: V2 = I*ln(e^(V/I - V1/I)); берём логарифм от экспоненты: V2 = I*(V/I - V1/I); раскрываем скобки V2 = V - V1. Доказано. Этим выводом мы будем пользоваться при оценке возможностей многоимпульсных манёвров. Можно сложить между собой характеристические скорости по всем импульсам, а потом вычесть их из идеальной скорости космического аппарата. Поэтому идеальную скорость называют ещё запасом характеристической скорости, а сумму характеристических скоростей импульсов - характеристической скоростью многоимпульсного манёвра.