Компланарные манёвры
Компланарными называют такие манёвры, которые не изменяют плоскость орбиты. Самые простые из них - одноимпульсные. Я уже упоминал один такой манёвр - подъём перигея. Для этого нужно было в апогее дать доразгонный импульс (импульс в проградном направлении). Чтобы опустить перигей (например, для схода с орбиты) - нужно в апогее затормозить: дать тормозной (ретроградный) импульс. Так же как и перигей, можно изменять высоту апогея. Есть общее правило: проградный импульс в апогее или перигее - поднимает противоположную точку орбиты, а ретроградный - опускает. При этом поднимая перигей - можно поднять его выше апогея, т.е. сделать новым апогеем, а опуская апогей - сделать его новым перигеем. Если исходная орбита круговая - у неё нет апогея и перигея, значит, любой разгон окажется подъёмом апогея - фактически создаст апогей, а точка, в которой произошёл разгон - станет перигеем. Аналогично - любое торможение окажется опусканием перигея. Рассчитаем характеристическую скорость подъёма апогея. Воспользуемся формулой скоростей, выраженной через высоты апогея и перигея: v = sqrt(2μ(1/r - 1/(r0+r_a)). Нам нужно доразогнаться в перигее, т.е. изменить v0. v0 = sqrt(2μ(1/r0 - 1/(r0+r_a)); Пусть r_a - старый апогей, а r_a' - новый, тогда: Δv = sqrt(2μ(1/r0 - 1/(r0+r_a')) - sqrt(2μ(1/r0 - 1/(r0+r_a)). Эта формула почти не поддаётся упрощению, поэтому оставим так. Если мы подставим r_a'<r_a, то результате получим Δv0<0 - это означает, что импульс должен быть ретроградным. Аналогичная формула характеристической скорости подъёма перигея выглядит так: Δv = sqrt(2μ(1/r_a - 1/(r0'+r_a)) - sqrt(2μ(1/r_a - 1/(r0+r_a)); здесь r0 - старый перигей, а r0' - новый. Многоимпульсные компланарные манёвры в околоземном пространстве как правило представляют собой определённую последовательность подъёмов или опусканий апогея или перигея орбиты. Характеристическая скорость многоимпульсного манёвра равна сумме характеристических скоростей по всем импульсам этого манёвра. Часто бывает, что апогей нельзя поднять достаточно высоко одним импульсом - импульс получился бы слишком длинным он должен был бы начаться и закончиться слишком далеко от перигея, что ведёт к перерасходу топлива. В таких случаях применяют несколько включений двигателя - на каждом витке при прохождении перигея выдаётся проградный импульс, несколько поднимающий апогей. Одним из классических компланарных манёвров является переход между двумя круговыми орбитами по Гомановской траектории. Гомановская траектория - это такая эллиптическая орбита, которая касается исходной и конечной круговых орбит. Например, если нам нужно перейти на более высокую орбиту, мы поднимем апогей своей орбиты так, чтобы он оказался на высоте требуемой орбиты, а затем поднимем перигей так, чтобы он тоже оказался на этой высоте. Тот эллипс, по которому мы двигались от перигея к апогею - Гомановская траектория. Обратите внимание что и поднятие апогея и поднятие перигея - это доразгон. Популярно заблуждение, что после разгона в начале манёвра надо затормозить в его конце: в данном случае это не так, потому что из-за закона изменения скорости при движении по орбите, скорость в апогее у нас будет меньше местной круговой, т.е. замедление аппарата уже произошло, причём слишком сильное. Если нам нужно перейти на более низкую орбиту, мы сперва опустим перигей так, чтобы он оказался на нужной высоте, а потом опустим апогей. Снова обратите внимание: оба импульса - торможение. Гомановская траектория - наиболее экономичный манёвр перехода между круговыми орбитым, радиусы которых отличаются не слишком сильно. Время полёта по Гомановской траектории равно половине периода обращения по эллипсу с той же большой полуосью: T = π*a^(3/2)/sqrt(μ). Если радиусы начальной и конечной орбиты различаются более чем в 11.93876 раз (это число мной взято в книге "Методы астродинамики" Эскобала, там оно рассчитывается), то более экономичным, чем Гомановский, оказывается биэллиптический манёвр. Он трёхимпульсный. Первым импульсом мы поднимаем апогей на очень большую высоту - теоретически, чем выше - тем лучше. В результате аппарат оказывается на очень вытянутой эллиптической орбите. Достигнув апогея, мы изменяем высоту перигея таким образом, чтобы она стала равна радиусу конечной орбиты. Т.е. если нам нужно перейти с низкой орбиты на высокую - поднимаем перигей, если с высокой на низкую - опускаем. Достигнув перигея, выдаём тормозной импульс, чтобы опустить апогей и сделать орбиту круговой. Биэллиптический переход - занимает существенно больше времени, чем Гомановский, и тем больше - чем выше апогей промежуточной орбиты. Если исходная и конечная орбиты существенно вытянуты и их большие полуоси не лежат на одной прямой, то указанные методы для них не подходят, так как невозможно найти такой эллипс, который в апогее касался бы одной орбиты, а в перигее - другой. Но можно найти такой эллипс, который бы касался обеих этих орбит в некоторых точках. Такой переход называют котангенциальным. Подробное его описание - не для чайника, да и в космонавтике он практически не встречается. В самом общем случае, чтобы перейти с одной орбиты на другую, лежащую в той же плоскости, можно воспользоваться любой траекторией, касающейся или пересекающей эти орбиты. Например, для полёта с низкой околоземной орбиты на орбиту, сравнимую по высоте с орбитой Луны, по Гомановской траектории понадобилось бы в первом импульсе набрать скорость почти не отличающуюся от параболической, поэтому экономить характеристическую скорость уже не выгодно: набрав немного большую скорость можно существенно уменьшить время полёта. Но в таком случае выход на круговую орбиту на заданной высоте уже не может быть сделан доразгонным импульсом, так как скорость на нужной высоте будет не перпендикулярна силе тяжести, поэтому импульс нужно будет давать под углом к траектории и набирать скорость, равную векторной разности потребной и имеющейся скорости. Такие секущие траектории применяются в межпланетных полётах, когда экономить характеристическую скорость за счёт времени полёта - уже неприемлемо. Подробнее о них мы поговорим в части про межпланетные полёты.Некомпланарные манёвры
Некомпланарными называют манёвры, изменяющие плоскость орбиты. Самый простой из них - поворот плоскости орбиты. Для этого в точке пересечения старой и новой орбит даётся импульс в направлении, перпендикулярном плоскости орбиты. Рассчитаем необходимую величину этого импульса. Предположим, что орбита у нас круговая, а повернуть надо на угол θ. Допустим, что для нас допустимо, чтобы конечная скорость была по модулю больше начальной, тогда, т.к. разгон у нас происходит под прямым углом к скорости, вектора текущей скорости, разности скоростей и конечной скорости - образуют прямоугольный треугольник, в котором конечная скорость - гипотенуза, а начальная - прилежащий катет. Δv = v*tgθ; а конечная скорость v' = v/cosθ; где: Δv - модуль разности скоростей, v - модуль начальной скорости, v' - модуль конечной скорости. При сколь-нибудь значимых поворотах орбиты, Δv оказывается очень большой, а при θ=45° - Δv = v. Напомню, что v - круговая скорость. Очевидно, что большинство космических аппаратов своими силами такой манёвр совершить не способно - для этого требуется дополнительная ракетная ступень. Если необходимо, чтобы конечная скорость была по модулю равна начальной - всё ещё хуже: треугольник равнобедренный, а разность скоростей - его основание. По теореме косинусов: Δv = v*sqrt(2 - 2*cosθ); где: Δv - модуль разности скоростей, v - модуль орбитальной скорости. В таком случае Δv = v уже при θ=30°, а при θ=45° - Δv = v*sqrt(2). Для поворота на большие углы целесообразно использовать биэллиптический манёвр. Первым импульсом мы поднимем апогей на некоторую большую высоту, достигнув апогея - повернём орбиту, не изменяя модуля скорости, а затем, достигнув перигея - снова опустим апогей. Характеристическая скорость второго импульса манёвра будет во столько раз меньше чем в одноимпульсном манёвре, во сколько скорость в апогее ниже скорости на исходной орбите. Пусть высота апогея промежуточной орбиты будет в n раз больше радиуса исходной и конечной орбит, тогда Δv1 = Δv3 = sqrt(2μ(1/R - 1/(R+nR)) - v_кр; Δv2 = sqrt(2μ/(R(n+1)))*sqrt(2 - 2*cosθ). Вспомним, что v_кр = sqrt(μ/R) и упростим: Δv1 = Δv3 = v_кр*(sqrt(2 - 2/(n+1)) - 1); Δv2 = v_кр*sqrt(2/(n+1))*sqrt(2 - 2*cosθ). А общая характеристическая скорость будет равна: Δv = Δv1 + Δv2 + Δv3 = 2*v_кр*(sqrt(2 - 2/(n+1)) - 1) + v_кр*sqrt(2/(n+1))*sqrt(2 - 2*cosθ); вынесем за скобки общие множители: Δv = 2*v_кр*(sqrt(2 - 2/(n+1)) + sqrt((1-cosθ)/(n+1)) - 1). Анализировать эту формулу непросто. Чтобы не перегружать статью преобразованиями формул, я построил графики в онлайн сервисе и обнаружил, что уже при n=10, биэллиптический поворот на 90° выгоднее чем прямой, а при n=100 выгодным становится поворот на 60°. Ещё большие значения N рассматривать не имеет смысла, т.к. такая орбита становится близка к параболической, а как мы уже видели, такие орбиты мы без численных методов не посчитаем. http://yotx.ru/#!1/3_h/ubW/tb@35Sam3/aP9g/2DfT0qt7f8TSeSNHfDG1ubv3//G3u7u7v7BPomG3diCIRiPB4zHg939rf0d8MY/kUTe2Nnc2d7YOoBu7e5C/4kk8sbG1ubv3//G3u7u9sbWAXRrd3dza3f/YJ9Ew27snDIeT7cYj1uXF7v7W/s74I1/Iom8sbO5s72xdXAA3drdhf4TSeSNja3N37//jb3d3e2NrYMD6Nbu7ubW7v7BPomG3QAdMB53QFuMR9DB7v7WPgI= На практике поворачивать орбиту без изменения её формы обычно не бывает нужно. Как правило, требуется перейти с имеющейся орбиты на орбиту с другими параметрами, к тому же наклонённую к исходной. Это можно сделать двухимпульсным или трёхимпульсным манёвром, с поворотом орбиты в каждом импульсе. Двухимпульсный манёвр - это Гоманов переход, сопровождающийся изменением плоскости орбиты в апогее и перигее на углы θ1, θ2 соответственно, такие, что θ1 + θ2 = θ. Трёхимпульсный манёвр - это биэллиптический переход, в каждом импульсе которого плоскость орбиты меняется на углы θ1, θ2, θ3, такие, что θ1 + θ2 + θ3 = θ. Способ оптимального разбиения полного поворота на составляющие θ1, θ2, θ3 - далеко не очевиден, он требует получения частных производных характеристической скорости по составляющим угла, а потому оставим его решение за рамками статьи.